Затухающие одномерные колебания

Если собственные частоты системы существенно меньше частот процессов диссипации, то можно обойтись только механикой (без термодинамики). Когда колебания малы, то функцию среды можно записать в квадратичном виде, например:

(свободное колебание)

здесь .

показатель затухания

1. -апериодический процесс – колебаний нет

2.

, где

тогда

тогда , т.е. энергия расходуется на трение.

т.е. для поддержания колебаний необходим приток энергии извне.

Рассмотрим аналогичную задачу для степеней свободы:

слагаемое в правой части означает воздействие внешней силы.

-диссипативная функция.

решение ищется в виде , тогда:

умножим на комплексно-сопряженное:

В силу симметрии эти числа вещественны:

Вводятся обозначения:

и

Элементы тензорного анализа в классической механике.

Введём координаты и , которые повернуты относительно и на угол .

здесь не зависит от выбора координат.

- это матрица перехода (в нашем случае матрица поворота).

Тензор представим в виде матрицы, а матрица не представима в виде тензора. Рассмотрим свойства матрицы :

- сумма по индексу

,

где - единичная матрица

Тогда:

Если , то это соответствует и .

-инверсия

- вращение

,

при :

-компонента вектора (тензора первого ранга)

Можно ввести некоторые объекты , где компонент будет , которые преобразуются по правилу:

,

где - тензор

Для криволинейных координат вводятся контравариантные векторы и ковариантные векторы .

и - различные системы векторов

,

здесь и - различные величины.

Оператор .

Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:

Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).

Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:

Действия оператора набла:

1. Оператор набла действует на скалярную функцию F:

или

2. Оператор набла скалярно действует на векторную функцию :

3. Оператор набла векторно умножается на векторную функцию :

Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:

- объем параллелепипеда.

- единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Задачи

1. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.

Решение.

2. Вычислить где p – постоянный вектор.

Решение.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.

Будем использовать гауссову систему единиц.

и являются источниками поля. Уравнения Максвелла позволяют по заданным источникам рассчитать электромагнитное поле. Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме ставятся в соответствие уравнения в интегральной форме.