Расчет простой цепи комплексным методом

Задание.

Рассчитать комплексным методом все токи и напряжения в электрической цепи, схема которой с заданными параметрами приведена ниже.

Изобразить RLC-схему цепи согласно заданным комплексным сопротивлениям ветвей.

Построить векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости и проверить с её помощью выполнение законов Кирхгофа.

Определить комплексную мощность цепи и проверить выполнение балансов активной и реактивной мощностей цепи.

Записать мгновенные значения всех токов и напряжений.

Исходные данные.

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

;

;

;

;

;

.

Решение.

Подготовим цепь к расчету комплексным методом: обозначим условные положительные направления токов в ветвях, напряжений на элементах:

I

I2

I3

U

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

I4

I5

U2

U4

U5

U1

U3

Рассчитаем токи и напряжения в ветвях схемы:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Согласно заданным комплексным сопротивлениям ветвей изобразим RLC-схему данной цепи:

L5

L2

R4

R5

R1

C3

C1

;

;

;

;

.

Построим векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости:

Пунктирные линии на диаграмме показывают выполнение законов Кирхгофа.

Определим комплексную мощность цепи и проверим выполнение балансов активной и реактивной мощностей:

а) Комплексная мощность цепи:

;

.

б) Для активной мощности:

;

.

в) Для реактивной мощности:

.

Запишем мгновенные значения токов и напряжений:

Для тока

;

Аналогично для остальных токов:

Для напряжения

;

Аналогично для остальных напряжений:

Расчет сложной цепи разными методами.

Задание.

В заданной схеме цепи значения активных и реактивных сопротивлений определены при некоторой круговой частоте ω синусоидального тока.

Рассчитать комплексы токов всех ветвей:

– методом контурных токов;

– методом узловых напряжений.

Рассчитать ток одной из ветвей методом эквивалентного генератора.

Проверить выполнение баланса активной мощности и баланса реактивной мощности цепи.

Определить напряжение между точками A и B, отмеченными на схеме цепи.

Записать мгновенные значения токов ветвей.

Исходные данные.

L1

E1

E2

L3

L4

L5

R5

R6

C6

A

B

.

Решение.

а) Рассчитаем комплексы токов всех ветвей методом контурных токов (МКТ).

L1

E1

E2

L3

L4

L5

R5

R6

C6

A

B

I2

I3

I4

I5

I1

I6

Ik1

Ik2

Ik3

Подготавливаем схему к расчету по МКТ. Обозначим условные положительные направления токов в ветвях схемы, выбранные контуры, направдение контурных токов I_kт, где т – номер контура:

Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов:

;

.

Подставляя числовые значения сопротивлений и ЭДС, получаем следующую систему уравнений:

.

Решением данной системы являются контурные токи. Найдем их:

Определим токи в ветвях схемы:

б) Подтвердим правильность решения проверкой баланса активной мощности и баланса реактивной мощности в цепи.

Комплексная мощность источников:

Активная мощность приемников:

баланс сходится.

Реактивная можность приемников:

=2∙

,баланс сходится.

в) Определим напряжение между точками A и В.

Проверим по другому контуру:

г) Рассчитаем комплексы токов всех ветвей методом узловых напряжений (МУН).

Подготавливаем схему к расчету по МУН. Обозначим условные положительные направления токов в ветвях, номера узлов (т.к в схеме имеется ветвь, содержащая только идеальный источник ЭДС(z₂=0), в качестве опорного выберем один из узлов этой ветви), направления узловых напряжений:

L1

E1

E2

L3

L4

L5

R5

R6

C6

I2

I3

I4

I5

I1

I6

U10

U20

U30

Т.к сопротивление второй ветви данной схемы равно 0, то очевидно:

Запишем систему уравнений для неизвестных узловых напряжений второго и третьего узлов:

;

.

Подставляя числовые значения проводимостей и узловых токов, получаем следующую систему уравнений:

Решением данной системы являются неизвестные узловые напряжения. Найдем их:

Определим токи в ветвях схемы:

Полученные значения токов совпадают с расчетом по МКТ.

д) Найдем ток в первой ветви схемы методом эквивалентного генератора (МЭГ).

В соответствии с МЭГ, ветвь с искомым током выделяется, а оставшаяся часть схемы заменяется эквивалентным генератором с ЭДС E_ЭГ, численно равной напряжению на зажимах выделенной ветви и сопротивлением Z_ЭГ, равным входному сопротивлению относительно зажимов выделенной ветви.

Обозначим узлы первой ветви a и b, тогда получаем схему расчета по МЭГ:

I1

a

L1

E1

b

EЭГ

ZЭГ

L5

ZЭ1

ZЭ2

a

b

Zвх

a

b

L3

L4

R5

R6

C6

a

b

Определим входное сопротивление схемы относительно зажимов a и b:

L5

E2

L4

R5

R6

C6

I2

I’3

I’4

a

b

Определим ЭДС эквивалентного генератора:

L3

Из схемы расчета по МЭГ находим ток в первой ветви:

Полученное значение совпадает с расчетами по МКТ и МУП.

е) Запишем мгновенные значения токов ветвей.

Для тока

;

Аналогично для остальных токов:

Библиографический список.

1. К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. Теоретические основы электротехники, т. 1. – 4-е изд., СПб.: Питер, 2003. – 463 с.

2. Практикум по ТОЭ, ч. 1. Под ред. проф. М.А. Шакирова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. – 252 с.

3. А.Б. Новгородцев. Расчет электрических цепей в MATLAB: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2004. – 250 с.