Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ
A.) По критерию Найквиста;
B.) По критерию Гурвица;
C.) По корням характеристического уравнения
Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ.
Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ.
Провести сравнение расчетных результатов с данными, полученными на основе пакета прикладных программ.
1 Преобразование исходной структурной схемы к типовому виду; определение непрерывной передаточной функции приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы .
Исходная структурная схема импульсной САУ
Рис 1.
(период квантования);
Преобразуем исходную структурную схему к типовому виду:
Преобразованная структурная схема
Рис 2.
Согласно Рис.2, выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы будет определяться следующим соотношением:
Так как , то .
Определим весовую функцию для приведенной непрерывной части САУ . Для этого представим в виде суммы слагаемых:
2 Нахождение дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы по .
Так как по условию расчетного задания в импульсной системе существует небольшое запаздывание ( , но не равно нулю), то в выражении для дискретного преобразования Лапласа суммирование начинается не с нулевой дискреты ( ), а с первой дискреты ( ). Учитывая этот факт, получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:
3 Построение годографа разомкнутой импульсной САУ:
a.) По выражению ;
Используя формулу Эйлера получим:
Выделим в выражении действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование .
Значения и , полученные для разных , сведены в таблицу 1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на Рис.3
Рис.3.
b.) По годографу
Построение годографа по годографу производится согласно выражению: , где
В приближении: , где .
;
Рис. 4.
Таблица 1.
50 | 100 | 200 | 450 | 600 | 900 | 1200 | 1500 | 1800 | |
Точный метод | |||||||||
-1,369 | -1,749 | -1,845 | -1,87 | -1,873 | -1,875 | -1,876 | -1,876 | -1,876 | |
-42,962 | -21,451 | -10,645 | -4,532 | -3,251 | -1,877 | -1,084 | -0,503 |
Приближённый метод | |||||||||
-1,384 | -1,752 | -1,844 | -1,871 | 1,873 | -1,873 | -1,874 | -1,874 | -1,874 | |
-42,038 | -20,566 | -9,804 | -2,539 | -2,539 | -1,25 | -0,537 | -0,032 | 0,398 |
4 Оценка устойчивости замкнутой импульсной САУ и нахождение предельного коэффициента усиления:
A.) По критерию Найквиста;
Так как АФХ охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии не является устойчивой.
Предельный коэффициент можно определить согласно следующему соотношению:
где – коэффициент усиления разомкнутой САУ; – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном - 1800.
B.) По критерию Гурвица;
Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование:
Введем подстановку . Тогда характеристическое уравнение принимает вид:
После преобразований, из последнего соотношения получим:
Так как характеристическое уравнение 1-го порядка имеет один отрицательный коэффициент, то рассматриваемая система не является устойчивой в замкнутом состоянии.
Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ представим следующим образом:
Тогда соответствующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:
Подставим в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда, после преобразований, получим:
Так как для САУ 1-го порядка условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения, получим
5 Построение переходного процесса для замкнутой импульсной САУ при К=0.9137.
с.) По корням характеристического уравнения;
Возьмем и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.
Для получим, что:
Характеристическое уравнение: ;
Откуда корни характеристического уравнения для замкнутой системы равны:
;
т.е. , а – значит замкнутая САУ не является устойчивой.
Предельный коэффициент усиления получаем из решения уравнения:
, откуда и, приравняв получим значение
;
Разделим числитель и знаменатель на , тогда
Переходной процесс можно построить по следующему разностному уравнению, полученному из выражения для :
Построим переходной процесс с помощью пакета Mathcad:
Рис. 5.
Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ
Номер шага | Момент времени | Значения переходного процесса |
0.01 | 1.142 | |
0.02 | 0.979 | |
0.03 | 1.002 | |
0.04 | 0.999 | |
0.05 | 0.999 | |
0.06 | 0.999 | |
0.07 | 0.999 | |
0.08 | 0.999 | |
0.09 | 0.999 | |
0.10 | 0.999 | |
0.11 | 0.999 | |
0.12 | 0.999 | |
0.13 | 0.999 | |
0.14 | 0.999 | |
0.15 | 0.999 |