Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Если точки M₀(x_0;y_0;z₀), M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

(2.17.1)

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки: M₀(1;2;3), M₁(2;1;2), M₂(3;3;1).

Решение

Данные точки не лежат на одной прямой, так как векторы {1,–1,–1} и {2,1,–2} не коллинеарны. Плоскость M₀M₁M₂ представляется уравнением , т.е. x + z – 4 = 0.

Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение вида

(2.17.2)

называется уравнением плоскости в отрезках, a, b и c –соответственно абсцисса, ордината и аппликата пересечения плоскости с осями Ox, Oy и Oz (рис. 2.17.1).

Рис. 2.17.1

Пример

Написать уравнение плоскости 3x – 6y +2z – 12 = 0 в отрезках.

Решение

Очевидно, что a=4, b=–2, c=6. Тогда уравнение плоскости в отрезках есть

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Один из углов f между плоскостями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и
A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (рис. 2.18.1) равен углу между их нормальными векторами и и определяется по формуле:

(2.18.1)

Рис. 2.18.1

Пример

Найти угол между плоскостями x – y + 2^1/2z + 2 = 0 и x + y +2^1/2z – 3 = 0.

Решение

Условие параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

(2.18.2)

Пример

Определить, параллельны ли плоскости 2x–3y–4z+11=0 и –4x+6y+8z+36=0.

Решение

Плоскости параллельны, так как

Условие перпендикулярности плоскостей

Если две плоскости заданы уравнениями A₁x₁ + B₁y₁ + C₁z₁ + D = 0, A₂x₂ + B₂y₂ + C₂z₂ + +D = 0, то условием их перпендикулярности является:

(2.18.3)

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы N₁{A₁,B₁,C₁} и N₂{A₂,B₂,C₂}.

Пример

Определить перпендикулярны ли плоскости 3x–2y–2z+7=0 и 2x+2y+z+4=0.

Решение

Так как 3×2+(–2)×2+(–2) ×1=0, то заданные плоскости перпендикулярны.

Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости

Плоскость, проходящая через точку M₁(x_1;y₁;z₁) и параллельная плоскости Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением:

(3.2.7)

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2;–1;6) параллельно плоскости x+y–2z+5=0.

Решение:

(x–2) + (y+1) –2(z–6) = 0, т.е. x + y – 2z + 11 = 0.

Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно к данной плоскости

Плоскость P, проходящая через две точки M₀(x₀,y₀,z₀) и M₁(x₁,y₁,z₁) перпендикулярно к плоскости Q, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением

(2.18.4)

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки: M₀(1;2;3) и M₁(2;1;1) перпендикулярно к плоскости 3x+4y+z–6=0.

Решение

Плоскость представляется уравнением:

, т.е. x–y+z–2=0.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M₁(x₁, y₁, z₁) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 равно

(2.18.5)

Пример

Найти расстояние от точки (3;9;1) до плоскости x–2y+2z–3=0.

Решение