Исследование качества линейной системы автоматического управления

Цель работы

Изучение методов анализа качества САУ в переходном режиме и исследование влияния отдельных параметров на показатели качества.

Краткие теоретические сведения

Показатели качества

Анализ качества систем управления включает не только анализ устойчивости и точности, но также анализ качества свободных и вынужденных процессов, исследование чувствительности систем управления, т.е. степени изменения свойств системы при изменении ее параметров или структуры.

В данной работе изучаются методы анализа качества вынужденных процессов систем управления. В качестве типового вынужденного процесса рассматривается переходный процесс (рис.2.1), который описывает реакцию предварительно невозбужденной системы на единичное скачкообразное воздействие v(t)=1(t).

Рис. 2.1

Наиболее важными показателями качества переходного процесса являются следующие:

- перерегулирование , (2.1)

где , ;

- время регулирования (время переходного процесса), определяемое как время, начиная с которого выполняется неравенство

, (2.2)

где - малая величина, обычно задается как ;

- число колебаний за время регулирования;

- время нарастания , определяется обычно по уровню 0,9h_уст ;

- время наступления первого максимума t_m .

Показатели и определяют колебательность системы, и t_н - быстродействие системы.

Показатели качества, определяемые непосредственно по переходной характеристике, называют прямыми показателями. Приближенные значения показателей качества или оценки показателей качества могут быть получены косвенным образом, например, по частотным характеристикам системы либо по диаграмме расположения нулей и полюсов замкнутой системы, т.е. по нупольному портрету системы. В этом случае говорят о частотных или корневых оценках показателей качества [1]. К косвенным оценкам относятся также интегральные оценки качества.

Частотные оценки качества

Частотные оценки качества системы управления базируются на различных частотных характеристиках. Наиболее часто применяются амплитудно-фазовая и логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы и амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы.

Рассмотрим типовой случай устойчивой замкнутой системы, АФХ которой в разомкнутом состоянии системы не охватывает критическую точку (-1,j0). Степень удаленности АФХ (иначе годографа W(jω)) от этой точки характеризуется запасами устойчивости системы по модулю и по фазе (рис2.2,а,б). Запас устойчивости по фазе определяется как модуль разности аргументов векторов

, (2.3)

где Запас устойчивости по модулю определяется числом h, определяемым как

. (2.4)

Соответствующие запасы устойчивости можно определить по ЛЧХ на частотах ω_π и ω_ср . Запас устойчивости по модулю определяется в децибелах как

ΔL = 20lg h = - 20lg |W(jω_π)| . (2.5)

Рис. 2.2

б)

а)

Значения и h(ΔL) влияют на качество системы в переходном режиме. Достаточными считаются значения в пределах 30^о…70^о; h = 2…10 (соответственно ).

Запасы устойчивости гарантируют устойчивость линейной системы при изменении ее параметров (коэффициента усиления k, постоянных времени T_i, параметра чистого запаздывания τ и др.) в некоторых пределах, иначе говоря, позволяют обеспечить параметрическую устойчивость системы [6].

ЛАЧХ разомкнутой системы L(ω) при устойчивой замкнутой пересекает, как правило, ось частот с наклоном -20 дб/дек. Чем длиннее этот участок (его еще называют среднечастотным участком ЛАЧХ), тем больше запасы устойчивости (рис. 2.2,б). При длине среднечастотного участка в 1,5÷2 декады запас устойчивости по фазе близок к 90^о, при уменьшении длины среднечастотного участка уменьшается, при наклоне среднечастотного участка в стремится к нулю. Для приближенной оценки перерегулирования можно воспользоваться соотношением [1]

s,% ≈ 70 – Δφ^о, если 30^о < Δφ <70^о. (2.6)

Время регулирования t_p приближенно оценивается частотой среза ω_ср по формуле

. (2.7)

Амплитудно-частотная характеристика АЧХ замкнутой системы Ф (ω) определяется как модуль комплексного коэффициента Ф(jω) этой системы.

(2.8)

где |W(jω)| = R(ω) - есть АЧХ разомкнутой системы.

Установим связь между длиной среднечастотного участка типовой ЛАЧХ (рис 2.2,б) разомкнутой системы и графическим видом АЧХ замкнутой системы. Обычно в области низких частот L (ω) = 20lg R (ω) много больше нуля, а R (ω) >> 1, тогда

В области высоких частот L(ω)<<0, а R(ω)<<1, тогда

Следовательно, на участке средних частот Ф(ω) изменяется от значений, близких к единицы, до значений, близких к нулю. Характер этих изменений зависит от длины среднечастотного участка ЛАЧХ, а значит и от запаса устойчивости по фазе Δφ. Определим Ф(ω_ср) для нескольких значений Δφ.

1. Δφ=90^о=π/2, φ(ω_ср)=-π/2, при этом Модуль равен длине вектора (рис.2.3,а). Следовательно при Δφ=90^о, , σ,%=0, Ф(ω) не имеет

максимума (рис.2.3,б, АЧХ1).

Рис. 2.3

2. Δφ=60^о=π/3; σ,% ≈10; φ(ω_ср) = -120^о; |1+e | = 1 (это легко доказать по аналогии с предыдущим случаем). Ф(ω) имеет незначительный максимум (рис. 2.3,б, АЧХ2).

3. Δφ<60^о; σ,%>10; Ф(ω_ср)>1; Ф(ω) имеет достаточно выраженный максимум (рис.2.3,б,АЧХ 3). Таким образом, величина Ф_max может служить оценкой колебательности системы. Параметр М = Ф_max / Ф(0), называют показателем колебательности системы. Для статических систем , где k – коэффициент усиления системы, для астатических систем Ф(0) = 1, а М = Ф_max. Обычно считают, что система имеет слабую колебательность, если показатель колебательности лежит в пределах

1,1 ≤ М ≤ 1,5. (2.9)

Мерой быстродействия системы является полоса пропускания 0 ÷ ω_п. Частота ω_п, характеризующая ширину полосы пропускания, определяется как частота, на которой Ф(ω_n) = 0,707 Ф (0).

Время регулирования t_p оценивается по формуле . Можно использовать формулу (2.7), так как при М, отвечающем условию (2.9) частота среза ω_ср приблизительно равна частоте ω_п.

Корневые оценки качества

Корневые оценки качества основываются на расположении полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы в левой полуплоскости корней. Если все полюсы системы, т.е. корни , характеристического уравнения

, 2.10)

простые (нет кратных корней), то определяется по формуле разложения Хевисайда [1].

Рассмотрим случай, когда числитель ПФ не имеет нулей, т.е. является постоянной величиной . Тогда

. 2.11)

В формуле (2.11) можно выделить две составляющие: установившуюся и переходную .

, . (2.12)

Если в (2.12) , (т.е. все полюсы системы являются отрицательными действительными), то все слагаемые вида монотонно затухают, а монотонно возрастает и стремится к ( ). Иначе говоря, переходный процесс протекает без перерегулирования - .

Если среди корней в (2.12) есть пары комплексно-сопряженных вида , то переходный процесс может носить колебательный характер, а оценкой колебательности является величина

(2.13)

определяемая отношением мнимой части к действительной той пары корней, для которой это отношение максимально.

Паре корней соответствует составляющая переходного процесса , период колебаний которой . Через один период амплитуда уменьшится до величины

. (2.14)

Отношение . Таким образом, величина характеризует степень затухания колебаний и является корневым показателем качества, называемым колебательностью системы.

Если в многополюсной системе пара полюсов является доминирующей, а влиянием остальных полюсов можно пренебречь, то оценка перерегулирования находится через колебательность системы по формуле [5]

. (2.15) В трехполюсной системе с одним вещественным полюсом величина перерегулирования, вычисленная по формуле (2.15), будет уменьшаться по мере приближения вещественного полюса к началу координат. Суждение о влиянии большего числа полюсов на перерегулирование более сложное.

Расстояние от мнимой оси плоскости корней до ближайшего действительного полюса (рис.2.4,б) или до ближайшей пары комплексно-сопряженных полюсов (рис.2.4,а) обозначается через и характеризует степень устойчивости системы.

Рис. 2.4

Вместе с тем является корневым показателем быстродействия системы. Легко показать, что время затухания составляющих и в определяется по формуле

(при ), (2.16)

которая дает приближенную оценку времени регулирования [5]. Относительной мерой быстродействия системы с однотипным распределением корней (рис.2.4,б) может служить наиболее простая

корневая оценка – среднегеометрическое значение корней [4]

. (2.17)

Интегральные оценки качества.

Интегральная оценка качества – это величина функционала , который представляет собой интеграл от некоторой абсолютно интегрируемой функции времени. В качестве такой функции часто используется ошибка управления и её производные. Если имеет постоянную составляющую (установившаяся ошибка системы), то заменяют на динамическую ошибку . Примерами интегральных оценок качества являются функционалы вида:

, , .

Графическая трактовка функционалов J₁ и J₂ дана на рис.2.5 , т.е. численные значения J₁ и J₂ - это значения заштрихованных площадей.

Рис. 2.5

Функционал J₃ определяет сумму площадей под кривой и под кривой , умноженной на весовой коэффициент .

Интегральные оценки показывают, насколько динамическая сшибка системы отличается от нуля. По ним можно косвенно судить о скорости затухания и величине динамической ошибки в совокупности без определения названных характеристик в отдельности. Интегральные оценки применяются и для оценки качества свободного движения системы, вызванного ненулевыми начальными условиями.