П. 2.5. непрерывная случайная величина. интегральная функция (закон) распределения

В п. 2.1 дано определение непрерывной случайной величины. Возможные значения непрерывной случайной величины перечислить нельзя, так как их число бесконечно велико, и поэтому закон распределения в виде таблицы также нельзя составить, если не прибегнуть к упрощениям.

Возьмем бесконечный интервал (–¥, х), х – произвольное действительное число. Предположим, что в результате испытания случайная величина X приняла одно из значений x₁, x_i (–¥,x) т.е. оказалось, что Х<х. Событие, состоящее в том, что при одном испытании случайная величина X примет значение, меньшее, чем некоторое число х, имеет определенную вероятность, зависящую от х. Вероятность события = {Х<х} является функцией х:

Р (X < x) = F (x). (2.5.1)

Определение. Интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины X называется вероятность Р (Х < х) события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее х.

На числовой прямой равенство P (X < x) = F (x) определяет вероятность попадания случайной точки X левее точки х.

Свойства функции F(x).

1°. F (x) – величина безразмерная и изменяется на множестве [0, 1], т. e. 0 ≤ F(x) ≤ 1, так как F(x) – вероятность события.

2°, F(x) – функция неубывающая, т. е. F (x₁)≤ F(x₂) при х₁ < х₂.

Свойство очевидно, если принять во внимание геометрический смысл F(x).

3°. P(x₁ ≤ X < x₂) = F (x₂) – F (x₁) (2.5.2)

Доказательство. Событие, состоящее в осуществлении неравенства Х < х₂, может быть представлено как сумма двух несовместных событий:

(Х < х₂) = (x₁≤X < x₂) + (X < x₁),

Тогда

P (Х < х₂) = P (x₁≤X < x₂) + P (X < x₁),

или

P (x₁≤X < x₂) = P (Х < х₂) – P (X < x₁) = F (x₂) – F (x₁).

4° F(–¥) = 0 и F(+¥) = 1.

Свойство 4° вытекает из определения (2.5.1). График функции F(x) см. на рис. 1.

Интегральную функцию можно составить и для дискретной случайной величины:

П. 2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Возьмем на числовой прямой интервал (х, х + Δх). По формуле (2.5.2) находим

P(x < X <x + Δx) = F(x + Δx) – F(x)

Рис. 2

Определение. Выражение называется средней плотностью вероятности случайной величины на интервале [x, x+Δx]

Определение. Предел средней плотности вероятности при Δx→0 называется дифференциальной функцией или плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины и обозначается f(x),

Кривая, соответствующая уравнению y = f(x), называется кривой вероятностей и может иметь вид, изображенный на рис. 2.

Свойства функции f(x).

1°.f(x) ≥ 0 как производная от неубывающей функции.

2°.

(2.6.1)

Доказательство. Имеем (рис. 3)

3°.

(2.6.2)

Доказательство. Имеем (рис. 121)

(2.6.3)

4°.

(2.6.4)

Доказательство. Находим

5°. Если возможные значения случайной величины принадлежат замкнутому промежутку, т. е.

то

(2.6.5)