Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru , если указано конечное или счетное множество чисел

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

и каждому из этих чисел Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru поставлено в соответствие некоторое положительное число Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru , причем

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

Числа Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru называются возможными значениями случайной величины Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru , а числа Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru - вероятностями этих значений ( Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru ).

Таблица

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

называется законом распределения дискретной случайной величины Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru .

Если возможными значениями дискретной случайной величины Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

то говорят, что случайная величина Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru имеет биномиальный закон распределения:

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru Если возможными значениями дискретной случайной величины Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

то говорят, что случайная величина Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru имеет гипергеометрический закон распределения.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

где Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru ;

Закон распределения Пуассона:

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

где

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru , Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru , Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

где

Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru .

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ integral distribution function ]

(Лат.: integer - нетронутый, незатронутый, невредимый, целый; 1571; integratio - восстановление; 1620).
Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x случайной величины X вероятность того, что величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).
Распределение вероятностей дискретной случайной величины может быть задано перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин. Общим способом задания распределений любых типов случайных величин является интегральная функция распределения. Пусть x - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть вероятность события X < x обозначим через F(x). Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Интегральная функция распределения имеет следующие свойства.
1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку (0,1): 0 і F(x) і 1. Следовательно, график интегральной функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, y = 1.
2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x2) і F(x1), если x2 > x1. Следовательно, при возрастании x в интервале (a, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график интегральной функции распределения поднимается вверх.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то F(x) = 0 при a і x, F(x) = 1 при x і b. То есть при a і x ординаты графика интегральной функции распределения равны нулю; при x і b ординаты графика равны единице. Для дискретной случайной величины график интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид.



14.Характеристики положения случайной величины.

Модой (Мо) случайной величины х называется наиболее вероятное ее

значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам.

Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого

ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину.

Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для

которого окажется ли случайная величина меньше этого значения.

Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой

площадь под кривой распределяется пополам.

Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или

нечетное значение случайной величины

n=2k+1, то Ме=хк+1 (среднее по порядку значение)

Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то Дискретная случайная величина и закон ее распределения - student2.ru

Наши рекомендации