Изучение колебаний связанных маятников

Принадлежности: лабораторная установка FPM-13, лабораторный

макет (связанные маятники).

Цель работы: изучение колебаний связанных маятников и опре­ деление частоты синфазных и противофазных ко-

лебаний. Изучение явления "биения".

Два или несколько маятников, соединённых между собой при по­мощи деформируемых связей представляют связанную систему.

Все мы знакомы с колебательными движениями маятника. Одиноч­ный маятник, представляет собой тело массы m, подвешенное на стержне длиной l. Рассмотрим случай, когда масса стержня много меньше m, а размеры тела много меньше l. При смещении такого ма­ятника на угол a появляется момент силы, стремящийся вернуть ма­ятник в положение равновесия:

M = - mgl sinα . (1)

Момент импульса маятника:

(2)

где da/dt - угловая скорость; J = ml² - момент инерции тела.

Соотношение dL/dt = M называется уравнением моментов. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения вокруг непод­вижной оси запишется так:

(3)

С учетом этого (1) примет вид:

(4)

Если угловое смещение не велико, то sin a ~ a. Такое уравне­ние называется уравнением свободных гармонических колебаний:

₍₅₎

Если отклонить груз на угол σ_o и опустить его при t_o = 0, то решением этого уравнения будет: α=α_o cos(ωt); где ω=(g/l)^1/2 ци­клическая частота колебаний маятника.

Рассмотрим теперь связанную систему, состоящую из двух маят­ников. Сместим один маятник, удерживая другой на месте, а затем опустим их одновременно. В этом случае маятник 1 начнёт колебать­ся, но с течением времени колебания маятника 2 будут нарастать, а колебания маятника 1 - затухать. Через некоторое время маятник 1 остановится, а маятник 2 будет колебаться с максимальной амплиту­дой и т.д. Это поведение кажется значительно более сложным, чем поведение одного маятника.

Исследуем уравнение движения связанных маятников. Если угол смещения α₂ > α₁ на маятник 1 действует дополнительный к (1) gоложительный вращательный момент (рис.1), равный:

где k - жесткость пружины, ε = l_o/l, l_o - расстояние между точкой подвеса маятника и точкой закрепления пружины.

Рис.1

Аналогично, маятник 2 будет испытывать вращающийся момент противоположного знака:

(7)

С учётом уравнений (6) и (7), описывающих связь между маят­никами, получим следующие уравнения движения:

(8)

(9)

Если α₂ и α₁ - малы, то

(10)

(11)

Получилась довольно сложная система уравнений для двух пере­менных. Мы можем упростить ситуацию, написав новые уравнения, по­лучаемые сложением и вычитанием уравнений (10) и (11). Сложив эти два уравнения получаем:

(12)

Разность (10) и (11) имеет вид:

ml d²(α₁ - α₂)/dt² = (- mg - 2kε²l)(α₁ - α₂) . (13)

Итак, с помощью этой операции нам удалось "развязать" урав­нения. Сначала напишем формальные решения этих двух уравнений, а

затем обсудим их значение. Рассматривая (12), мы видим, что вели­чина (α₁ + α₂) - переменная и если при t = 0 смещения равны α_1o и α_2o, то сумма 2-х смещений будет иметь зависимость от времени ви­да:

α₁ + α₂ = (α_1o + α_2o) cos(ω⁺t) , (14)

где частота w⁺ = (g/l)^1/2

равна частоте одиночного осциллятора. Наша пер еменная является суммой смещений маятников 1 и 2, тогда амплитуда изменения этой переменной постоянна. Решение уравнения (13) можно записать в следующем виде:

α₁ - α₂ = (α_1o - α_2o) cos(ω^-t) , (15)

где частота ω^- = (g/l + 2ε²k/m)^1/2 немного больше частоты одиночного осциллятора.

Как и сумма смещений, разность смещений меняется с постоян­ной амплитудой. Если мы сложим равенства (14) и (15), получим:

(16)

Если вычтем из равенства (14) равенство (15), получим:

(17)

Заметим, что если оба маятника имеют вначале равные смещения a_1o = a_1o, то они будут колебаться с постоянной амплитудой и час­тотой

(18)

Если при t = 0, α_1o = -α_2o , то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с более высокой частотой:

(19)

Эти два вида движений называются нормальными модами колеба­ний системы связанных осцилляторов. Нормальная мода колебаний - это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каж­дой частицы остаётся неизменной. Если мы сместим только один из маятников, то результирующим движением будет комбинация двух нор­мальных мод движения. Например, если α _2o = 0, мы получим

(20)

(21)

Используя тригонометрические тождества:

cos A + cos B = 2 αcos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] , (22)

cos A - cos B = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] , (23)

мы можем записать (20) и (21) в виде:

(24) (25)

Поведение α₁ и α₂ показано на рис.2

Рис.2

Обратите внимание на то, что при t = 0 амплитуда α _2o=0; с течением времени α ₂ растет, а α ₁ падает до тех пор, пока в момент

времени, определяемый из соотношений 1/2(w^- - w⁺)t = π/2 амплиту­да a₁ не станет равной нулю, а амплитуда α ₂ достигнет максимума, такое поведение можно понять, апеллируя к нормальным модам коле­баний. В случае чётной моды нормальных колебаний, обозначенной знаком "+", маятники движутся вместе, пружина не растянута, и частота такая же, как и для одиночного осциллятора. В случае нечётной моды нормальных колебаний (знак "-") пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если смещён только один из маятников, мы имеем две нормальные моды колебаний, нахо­дящихся в определённой относительной фазе.

Но поскольку частота нечётного колебания немного выше часто­ты чётного колебания, относительная фаза меняется. Через некото­рое время два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, амплитуда a₁ упадет до нуля, в то время как амплитуда a₂ достиг­нет максимума и т.д.

Рассмотрим ситуацию с энергетической точки зрения. При t = 0вся энергия сосредоточена в маятнике 1, в результате связи через

пружину, энергия постепенно передаётся от маятника 1 к маятнику 2

до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2. Время не­обходимое для перехода энергии из 1 в 2 и обратно можно получить из уравнения:

^- (w^- - w⁺)t_обм = π

Тогда частота, с которой осцилляторы обмениваются энергией, находится так:

w_обм=2π/t_обм=w^--w+ (26)

Эта частота называется частотой биения.

Принцип работы прибора состоит в том, что колебание каждого из двух, соединенных друг с другом пружиной, маятников, состоит из суммы двух синусоидальных колебаний с частотами близкими w₁ и w₂.

Значения этих частот зависят от параметров маятников (их длины, массы грузов, жесткости пружин и места закрепления пружин), но не зависят от начальных условий возникновения колебаний.

В общем случае, совершающие колебания маятники, подвергаются яв­лению "биения".

При возбуждении колебаний связанных маятников внешней сину­соидальнй силой, действующей на один из них, оба маятника будут совершать колебания с частотой внешней силы. В случае разных длин маятников резонанс колебаний будет наблюдаться тогда, когда одна из собственных частот связанных маятников будет равна частоте си­лы, возбуждающей колебания. В этом случае наблюдается "двугорбый резонанс":

где w₁ - собственная частота колебаний 1-го маятника,

w₂ - собственная частота колебаний 2-го маятника.

При первом резонансе маятники будут иметь одинаковые фазы, но угол отклонения более длинного маятника будет больше и частота будет близка собственной частоте w₁ более длинного маятника.

Собственная частота более короткого маятника w₂ > w₁. При повторном резонансе маятники будут иметь противоположные фазы, а частота будет близкой собственной частоте более короткого маятника w₂. Диаграмма двугорбого резонанса наблюдается также при равных параметрах маятников.

Ниже представлена диаграмма, реализированная при представле­нии "биения" маятников.

Во время колебаний амплитуда отклонения маятников по очереди

Рис.3.

изменяется от нуля до максимума.

Период "биения" (Т биения) понимается как промежуток времени между двумя очередными максимальными амплитудами колебаний маят­ника.

Рис.4.

Определение частоты синфазных и противофазных колебаний связанных маятников.

Измерение частоты синфазных колебаний выполняется по следую­щему способу:

- установить обоймы, крепящие пружины на верхней части стержней, для обоих маятников на одинаковом расстоянии (одинако­вые грузы и пружины).

- отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания,

- нажать <СЕТЬ>,

- отклонить маятники в одну сторону на небольшой угол и от­пустить их,

- нажать <СБРОС>,

- подсчитать прибором 10 периодов колебаний и нажать <СТОП>,

- считать с индикаторов время и количество колебаний,

- вычислить частоту синфазных колебаний связанных маятников. Практическое измерение противофазных измерений проводится

аналогично, как измерение синфазных колебаний, но маятники надо отклонить в противоположные стороны на одинаковый угол.

Возбуждение связанных маятников внешней синусоидальной силой

Для этой цели надо:

- установить пружины на обойму соединенную со стержнем, воз­буждающим колебания,

- включить питание двигателя,

- регулируя обороты двигателя наблюдать амплитуду колебаний маятников,

- когда маятники колеблются с амплитудой около 20^о происхо­дит явление резонанса.

Наблюдение явления биения связанных маятников

- отсоединить пружины от обоймы соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания,

- установить произвольные параметры маятников,

- один из маятников отклонить на любой угол и отпустить,

- наблюдать происходящее явление.

Выполнение работы.

В лабораторной работе требуется изучить собственные колеба­ния одинаковых связанных маятников, что сводится к опытному на­хождению нормальных частот w^- и w⁺ . Исследовать резонанс связан­ных маятников.

1.Соединив пружинкой маятники, отклонить их на небольшой угол (`10^о). После чего плавно отпустить маятники и измерить секундо­мером время t, за которое происходит n колебаний, и по формуле w⁺ = 2π n/t найти нормальную частоту колебаний. Измерение проде­лать не менее трёх раз.

2. Аналогично заданию 1 измерить нормальную частоту w^- - про­тивофазных колебаний.

3. Отклонить маятник 1, оставив маятник 2 в положении равнове­сия (придержать рукой), возбудите несимметричные колебания и убе­дитесь, что они представляют собой биения.

По формуле w_обм= 2π n/t определите частоту биений.

4. Найденную в задании 3 частоту w_обм сравнить с w_обм, рассчи­танной по формуле w_обм = w^- - w⁺.

5. Частоты нормальных мод определите по формулам (18) и (19). При расчете значения величин: m - масса маятника, k - жесткость пружины - даны в технических параметрах прибора; l_0,l_,ε - получе­ны из опыта. Сравнить найденные значения с величинами, определен­ными практически ( п.п. 1 и 2 ).

5. На установке FPM-13, определив w^- и w⁺ исследовать возбуж­дение связанных маятников внешней синусоидальной силой.

Проверка точности и правильности работы прибора

Проверка производится на основании расчета рабочей погреш­ности определения частоты синфазных колебаний s₁ связанных маят­ников по следующей формуле :

^{где: w}_x^{+ - значение частоты синфазных колебаний, определенное в} измерениях,

w₁⁺ - значение частоты синфазных колебаний определенных тео­ретически.

Аналогично проводится проверка погрешности определения час­тоты противофазных колебаний s_2.

_{В случае рабочих погрешностей больше 8% необходимо проверить правильность работы схемы кварцевого генератора. Для этой цели надо отвинтить и снять верхнюю плиту блока управления и измерений FPM-13, а затем измерить частоту сигнала в точке замера РI.}

Значение измеренной частоты должно равняться 10кгц.

Точность измерений.

- точность определения длины маятника не меньше 2 мм

- рабочая погрешность измерения времени не больше 0.02%

- рабочая погрешность определения частоты синфазных колебаний сопряженных маятников не больше 8%

- рабочая погрешность определения частоты противофазных колебаний не больше 8%

Технические параметры прибора.

- максимальная длина маятников 500 мм

- максимальное отклонение маятников от вертикали +30^о

^{- количество заменяемых пар грузов 3}

- количество заменяемых наборов пружин 2

- ориентировочная масса грузов:

груз 030I-0098-0I 0.1 кг

груз 030I-0098-02 0.15 кг

груз 030I-0098-03 0.2 кг

- ориентировочная жесткость пружин:

пружина 083I-009I-0I 5 г/см

пружина 083I-009I-02 7 г/см

- максимальное количество измеряемых колебаний маятников 99

- амплитуда синфазных колебаний не меньше 20^о

^{- диапазон измерения времени 1-99999 мс}

Контрольные вопросы

1. Какие системы называются связанными?

2. Как определяется вращающий момент в связанных маятниках ?

3. На что влияет жесткость пружины и точка её крепления на спице?

4. Что называется биениями?

5. Как определить частоту биений?

6. В чём заключается явление резонанса?