Изучение электрических колебаний в связанных контура (ФПЭ-13)

Цель работы – изучение обмена энергии в системе электрических контуров, слабо связанных между собой.

Теоретическое введение

Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналоги в механике. Поведение простейшего осциллятора – математического маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинном стержне, хорошо изучено: это гармонические колебания с частотой ω₀.

Существенно более сложными являются колебания системы двух одинаковых маятников, связанных между собой слабой пружиной, как это показано на рис. 10.1. Маятники будут участвовать в коллективных колебаниях, вид которых зависит от мгновенной разности фаз смещений маятников (относительная фаза).

Если оба маятника вначале, при t=0,одинаково сместить в одну и ту же сторону (рис.10.1,а), то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равными амплитуде и частоте колебаний одиночного маятника ω₀. Наличие пружины никак не повлияет на маятники, поскольку она останется недеформированной. Если при t=0 имеются равные амплитуды и противоположные фазы (маятники сместили из положения равновесия в противоположные стороны на одинаковые углы, рис.10.1,б), то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой и с частотой ω₁, слегка повышенной по отношению к ω₀. Эти два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с частотой ω₀ называют четной модой нормальных колебаний и обозначают значком «+» (ω⁺=ω₀), а вид колебаний с повышенной частотой ω₁ называют нечетной модой нормальных колебаний и обозначают значком «–» (ω^–=ω₁). Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остается неизменной.

В более сложных случаях, когда при t=0 имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как комбинацию (суперпозицию) двух нормальных мод колебаний. В результате такой суперпозиции (сложения) двух колебаний с разными частотами появляется амплитудно-модулированное сложное колебание. С такими колебаниями приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить не только маятники, но и два звучащих камертона с разными собственными частотами, причем наиболее интересным образом проявляются коллективные колебания, когда частоты колебаний камертонов мало отличаются друг от друга. В этом случае человеческое ухо воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с переменной амплитудой (амплитудно-модулироаванный сигнал), то есть ухо слышит звук, интенсивность которого периодически меняется с частотой (частота биений) и периодом . Такой вид суперпозиции гармонических колебаний (при ω₀≈ω₁, но ω₁>ω₀) иллюстрирует рис. 10.2. Само это явление называется биениями, а величины Т_δ и ω_δ – периодом и частотой биений соответственно.

В системе двух связанных слабой пружиной маятников биения могут установиться, если сместить один из них (например, маятник 1, рис. 10.1), удерживая первый на месте, а затем отпустить их одновременно. В этом случае маятник 1 начинает колебаться один (рис.10.2, t=0). С течением времени колебания маятника 2 будут нарастать, а колебания маятника 1 – затухать. Через некоторое время маятник 2 испытывает сильные колебания, а маятник 1 останавливается (рис.10.2, t=t₁). Затем процесс происходит в обратном порядке: колебания маятника 1 нарастают, маятника 2 – затухают (рис.10.2, t=t₂).

В случае четной моды нормальных колебаний маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как у одиночного маятника. В случае нечетной моды колебаний пружина деформируется, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если в какой-то момент времени смещён только один из маятников, то возникают две нормальные моды колебаний, находящиеся в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного колебания, относительная фаза медленно изменяется в процессе коллективного колебания. Амплитуда колебаний первого маятника оказывается равной нулю, а амплитуда второго достигает максимума, когда два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, затем начнется увеличение амплитуды первого маятника и т.д.

Поведение связанных осцилляторов можно легко объяснить с энергетической точки зрения. При t=0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не окажется в маятнике 2. Затем, конечно, если система осцилляторов подпитывается извне энергией для компенсации затухания колебаний из-за трения, процесс обмена энергией повторяется от маятника 2 к маятнику 1 и т.д. Таким образом, “биения” – процесс обмена энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых различаются мало, а при t=0 наблюдается относительный сдвиг фаз .

Биения можно наблюдать и в электрической схеме – в двух одинаковых LC – контурах, связанных между собой слабой емкостной связью С_в – аналогом механической связи в виде пружины. Колебания в контурах возбуждаются с помощью преобразователя импульсов (ПИ) – см. рис. 10.3.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: источник питания ИП; преобразователь импульсов ПИ; звуковой генератор PQ; осциллограф PO; магазин емкостей МЕ; модуль ФПЭ-13.

Функциональная схема представлена на рис. 10.5.

Методика измерений

Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы – рис. 10.4, где обозначены знаки зарядов с обкладок конденсаторов в контурах и положительное направление тока: С_в=С₁₂; L₁=L₂=L, причем для наблюдения биений важно, чтобы I₁ и I₂ были сонаправлены. При одинаковом направлении токов знаки зарядов конденсаторов С₁ и С₂ окажутся такими, как указано на рис.10.4, а при равенстве этих зарядов конденсатор С₁₂ окажется незаряженным. Таким образом, если в начальный момент Q₁=Q₂, то колебания в контурах будут происходить независимо, так как конденсатор С₁₂ никакого влияния на колебания оказывать не будет. Такая ситуация аналогична колебаниям, возникающим в связанных математическиз маятниках, изображенных на рис.10.1,а.

Для двух LC – контуров, соединенных по схеме, показанной на рис. 10.4, запишем второе правило Кирхгофа для контуров ABEF и BCDE:

, (10.1)

. (10.2)

Подставляя , получаем:

; (10.3)

. (10.4)

Получилось довольно сложные уравнения для двух переменных. Можно упростить ситуацию, написать новые уравнения, полученные сложением и вычитанием уравнений (10.3) и (10.4).

Сложив эти уравнения, получаем:

. (10.5)

Разность (10.3) и (10.4) имеет вид:

. (10.6)

В (10.5) и (10.6) учтено, что С₁=С₂=С. Введём новые переменные:

и (10.7)

и обозначим:

и , (10.8)

тогда в новых переменных (10.5) и (10.6) будут выглядеть так:

, (10.5а)

. (10.6а)

С помощью проведенных математических операций удалось свести уравнения (10.3) и (10.4) к более простым уравнениям относительно переменных и .

Если при t=0 переменная имеет значение , то решение уравнения (10.5а) имеет вид

(10.9)

частота

(10.10)

равна частоте собственных колебаний отдельного контура. Аналогично, решение уравнения (10.6а) приобретает вид:

(10.11)

где

; (10.12)

– значение при t=0 переменной .

Два вида движения, описываемые уравнениями типа (10.5а) и (10.6а), называются нормальными модами колебаний системы связанных контуров, а переменные и – нормальными переменные. В данном случае эти уравнения описывают колебания тока в системе двух связанных электрических контуров. Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждого заряда и тока остается неизменной. Дифференциальные уравнения колебаний, записанные в нормальных переменных, имеют наиболее простой вид – это однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Их решениями являются гармонические функции. Соответствующие частоты таких колебаний также называются нормальными.

Если вывести из положения равновесия один из контуров например, зарядить конденсатор С₁), то результирующим колебанием будет наложение (суперпозиция) двух нормальных мод колебаний. При Q₂₀=0 из (10.7), (10.9) и (10.10) получаем:

; (10.11)

. (10.12)

Используя известные тригонометрические тождества:

;

,

можно записать уравнения (10.11) и (10.12) в виде:

; (10.13)

. (10.14)

Вид функций Q₁(t) и Q₂(t) (10.13) и (10.14) для случая слабой связи между контурами ( <<1) показан на рис. 10.2. В этом случае нормальные частоты и близки друг другу (10.10) и (10.12), и вторые сомножители в (10.13) и (10.14) изменяются достаточно медленно по сравнению с первыми, так как разность мала по сранению с суммой . Получается амплитудно-модулированный сигнал с амплитудой, изменяющейся с периодом (период биений) и основной частотой, совпадающей с резонансной частотой колебаний каждого контура – . При t=0 амплитуда Q₂ равна нулю. Затем амплитуда Q₂ увеличивается, а амплитуда Q₁ уменьшается до тех пор, пока в момент времени, определяемый из соотношения амплитуда Q₁ не станет минимальной, а амплитуда Q₂ достигнет максимума.

Ситуацию, показанную на рис. 10.2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения. При t=0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость С₁₂ энергия постепенно передается от контура 1 к контору 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2. Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения , а частота, с которой контуры обмениваются энергией

(10.15)

Для четной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи текут в одинаковом направлении и на емкости С₁₂ нет заряда. При этом частота ω⁺ остается такой же, как для несвязанных контуров, т.е. . В случае нечетной моды нормальных колебаний (знак «–»), емкость С₁₂ заряжена, что увеличивает частоту колебаний, т.е. .

Следует отметить, что для того, чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту и, кроме того, предполагается, что С₁₂ велика по сравнению с С, то есть <<1 («слабая связь»). Тогда выражение 10.15 можно преобразовать следующим образом

(10.16)

Полученное значение частоты обмена ω_обм (имеется в виду обмен энергией), или частоты “биений” ω_б=ω_обм можно изменять, настраивая систему контуров путем изменения номиналов элементов С, С₁₂, L, R и т.д., добиваясь того, чтобы разностная частота была сведена к минимуму.

Исследование биений, то есть обмена энергий в связанных контурах, и является одной из практических задач данной лабораторной работы.

Экспериментальная установка

Принцип работы модуля ФПЭ-13 основан на электрической связи двух одинаковых колебательных контуров LC в условиях балансировки контуров. Колебания возбуждаются с помощью генератора Г3-118. Прямоугольный импульс подается на плату ФПЭ-13. На плате ФПЭ-13 установлены два LC- контура, которые связаны внешней емкостной связью. Для отсечки источника сигнала во время паузы от первичного контура (L1C1) в цепь питания включен кремниевый диод VD1. В промежутках между прямоугольными импульсами возбуждаемые в контуре L1C1 затухающие колебания через внешнюю емкостную связь (50-80 пФ) передаются в контур (L2C2), где накладываются на собственные колебания. На экране осциллографа отображается периодическое возрастание и убывание амплитуды затухающих колебаний, т.е. биения (рис. 10.7).

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с работой звукового генератора (в режиме генерации синусоидальных колебаний) и электронного осциллографа.

2. Подготовить приборы к работе:

а) с помощью магазина емкостей МЕ установить С=4∙10^-2 мкФ;

б) установить следующие параметры выходного напряжения звукового генератора: частота – 200 Гц, величина напряжения – 2-4 В, режим работы – генерация синусоидальных колебаний;

в) включить развертку электронного осциллографа с запуском от усилителя и установить частоту развертки, удобную для наблюдения сигналов частотой 200 Гц;

г) усиление по оси У электронного осциллографа установить таким, чтобы было возможно измерить переменное напряжение до 5 В.

3. Включить лабораторный стенд и приборы. Регулировкой ручек управления на панели осциллографа добиться стабильной картины процесса «биений» в контурах.

4. Вычислить Т_рез для одного из контуров (резонансные частоты контуров близки) по формуле Томсона (L=60 Гн, С=10⁴ пФ).

5. Изменяя величину емкости конденсатора связи С₁₂ на магазине емкостей от 4∙10^-2 до 4∙10^-1 мкФ, измерить периоды «биений». Т_б определяется следующим образом: подсчитывается количество периодов (количество максимумов), укладывающихся в одно биение (число – N) – рис. 10.7. Эта величина умножается на Т_рез, вычисленное по формуле Томсона, то есть . Полученные результаты записать в табл. 10.1. По полученным таким образом значениям Т_б строится график зависимости Т_б=f(C₁₂).

6. Провести расчет Т_б.теор. по формуле и сравнить его с экспериментальными данными.

Таблица 10.1

С12, мкФ	0.04	0.08	0.12	0.16	0.20	0.24	0.28	0.32	0.36	0.40
N
Тб.эксп.
Тб.теор.

Контрольные вопросы

1. Как будут колебаться два связанных пружиной маятника при отсутствии сдвига фаз между ними в начальный момент?

2. Какое должно быть соотношение частот двух связанных осцилляторов для наблюдения биений?

3. Какие процессы наблюдаются в системе связанных контуров?

4. Запишите второе правило Кирхгофа для двух связанных контуров (10.5) и (10.6).

5. Получите дифференциальные уравнения колебаний в нормальных переменных (10.5а), (10.6а) и запишите их решение (10.9) и (10.11).

6. Получите выражения для частот нормальных колебаний в связанных контурах.

7. Почему одна из нормальных частот совпадает с резонансной частотой контура , а вторая повышена по сравнению с ней ?

8. Объясните картину биений (рис. 10.2) с энергетической точки зрения.

9. Почему емкость С₁₂ должна быть << С?

10. Чему равна частота обмена энергией между двумя связанными осцилляторами? Получите и объясните формулу для периода биений.

11. Что такое нормальные колебания (моды) связанных осцилляторов?

Используемая литература

[1] § 27.4;

[2] § 19.4;

[3] § 3.4, 3.9;

[4] т.1, § 55,56;

[5] 145.

Лабораторная работа 2-11