Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы, которые можно получить как аналитически, так и экспериментально. Эти обстоятельства выгодно отличают рассматриваемый критерий от ранее изложенных. Заметим, что критерий Найквиста применим только для систем с единичной обратной связью.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования

, (6.30)

где D_p(p) - характеристический полином разомкнутой системы.

Передаточная функция системы, замкнутой единичной обратной связью, будет иметь вид:

, (6.31)

где

, (6.32)

Числитель выражения (6.32) представляет характеристический полином замкнутой системы, знаменатель - характеристический полином разомкнутой системы. При этом соблюдается условие m<n, где m - степень характеристического полинома K(p), а n - степень характеристического полинома D(p). Выполнение этого условия обеспечивает удовлетворение равенства

. (6.33)

Рассмотрим три случая состояния разомкнутой системы: устойчива, неустойчива и находится на границе устойчивости, причем в последнем случае характеристическое уравнение разомкнутой системы D_p(p)=0 имеет нулевой порядок астатизма n, т.е. D_p(p)=pⁿ×D₁(p).

1.Система в разомкнутом состоянии устойчива.

Согласно критерию Михайлова, изменение аргумента характеристического полинома устойчивой разомкнутой системы, при изменении v от 0 до ¥

.

Если потребовать, чтобы система и в замкнутом состоянии должна оставаться устойчивой, то должно быть удовлетворено равенство:

.

Тогда из (6.32) следует

(6.34)

Таким образом, система автоматического регулирования устойчива, если изменение аргумента вектора F(jv) при изменении v от 0 до ¥ равно 0. Это означает, что годограф F(jv) (рисунок 6.8, а, кривая 1) для устойчивой системы не охватит начало координат и, наоборот, для неустойчивой системы охватит точку с координатами (0, j0) (рисунок 6.8, а, кривая 2). Поскольку F(jv) отличается от W_p(jv) на +1, то условие устойчивости можно получить непосредственно для характеристики W_p(jv) (рисунок 6.8, б).

Приведем формулировку критерия Найквиста для этого случая.

Для устойчивой замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи (частотной передаточной функции) разомкнутой системы W_p(jv) при изменении v от 0 до ¥ не охватывая точку (-1, j0).

Рисунок 6.8 Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая устойчивой и неустойчивой системе

Применим критерий Найквиста для определения предельного коэффициента усиления разомкнутой системы, представленной на рисунке 6.3. Для этого структурную схему преобразуем к виду показанному на рисунке 6.9.

Чтобы определить значение K_кр, необходимо найти значение K_р, при котором годограф проходит через точку (-1; j0), т.е. решить уравнение

, (6.35)

или

(6.36)

Представив (6.36) в виде действительной и мнимой части, получим:

(6.37)

Рисунок 6.9 Структурная схема

Очевидно, что в выражении (6.37) мнимая часть должна быть равна нулю. Это возможно при соблюдении условия

, (6.38)

Подставляя (6.38) в (6.37) получим

, (6.39)

что совпадает с (6.16).

2.Система в разомкнутом состоянии неустойчива.

При рассмотрении многоконтурных или одноконтурных САУ они могут оказаться неустойчивыми в разомкнутом состоянии, т.е. характеристическое уравнение разомкнутой системы может иметь правые корни.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива, при этом характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет a корней в правой полуплоскости. Тогда результирующий угол поворота вектора D_p(jv) будет складываться из следующих составляющих:

1) n-a «левых» корней при изменении v от 0 до ¥ обеспечат угол поворота ;

2) a «правых» корней обеспечат отрицательный угол поворота ;

, (6.40)

Если потребовать, чтобы в замкнутом состоянии система была устойчива, то должно выполняться равенство

. (6.41)

При этом с учетом (6.33)

, (6.42)

Отсюда следует формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jv) при изменении v от 0 до ¥ охватывая раз в положительном направлении точку (-1; j0), где a - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Очевидно, что формулировка критерия Найквиста для первого случая является частным случаем (a=0) только что приведенной формулировки.

3.Система в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости.

Передаточная функция в разомкнутом состоянии

, (6.43)

где n - число нулевых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии. Этот случай соответствует астатической САУ, причем n - порядок астатизма.

В этом случае принцип аргумента, положенный в основу критерия Найквиста не рассматривает варианты, когда корни находятся на мнимой оси. Рассмотрим возможность применения критерия Найквиста для этого случая.

Произведем искусственный сдвиг нулевых корней (p_i=±a) с последующим предельным переходом (a®0). Тогда при n=1 передаточную функцию (6.43) можно записать в виде:

, (6.44)

При этом интегрирующее звено превратилось в инерционное с постоянной времени и коэффициентом усиления равным 1/a. Это соответствует смещению влево нулевого корня (рисунок 6.10, а). Частотные годографы W_p(jv) и W_p1(jv) (рисунок 6.10, б) близки друг к другу. При a®0 они совпадают на всех частотах, кроме v=0. Годограф W_p1(jv) отличается от W_p(jv) наличием дуги бесконечного радиуса, проходящей через IV квадрант и приводящей годограф при v®0 к действительной положительной полуоси (рисунок 6.10, в). Эту часть годографа называют дополнением в бесконечности.

Аналогично строятся измененные частотные годографы при n=2,3. В этом случае дополнение проходит через число квадрантов, равное порядку астатизма, т.е. дуга бесконечно большого радиуса описывает угол в отрицательном направлении вокруг начала координат (рисунок 6.10, г).

Для частотных годографов разомкнутых систем, дополненных в бесконечности, можно пользоваться первой формулировкой критерия Найквиста.

Для устойчивой замкнутой системы автоматического регулирования, которая в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jv), дополненный в бесконечности, при изменении v от 0 до ¥ не охватывал точку (-1; j0).

Наиболее общая формулировка критерия Найквиста основана на подсчете числа переходов частотного годографа через отрицательную действительную полуось от -1 до -¥. При этом переход считается положительным, если при возрастании v годограф переходит из верхней полуплоскости в нижнюю и отрицательным, если годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю.

Рисунок 6.10 Частотные годографы

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотного годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jv) через отрицательную действительную полуось от -1 до -¥ была равна a/2, где a число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Для систем находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми корнями характеристического уравнения, число a считается равным нулю, а годограф W_p(jv) берется с дополнением в бесконечности.

Рисунок 6.11 Частотные годографы