Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0

Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x1 и f¢(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru у

x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Следует доказать, что Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , x0 < c < x.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

По теореме Лагранжа для Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , следовательно, Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru то

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

Теорема доказана.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru . Ее наклонная асимптота у = х.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru или Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru или Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Например, для функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru M

 
  Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

j

N

j P

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru - ордината точки N на асимптоте.

По условию: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , ÐNMP = j, Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Угол j - постоянный и не равный 900, тогда

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Тогда Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

В полученном выражении выносим за скобки х:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Т.к. х®¥, то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , т.к. b = const, то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Тогда Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , следовательно,

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Т.к. Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , следовательно,

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Пример. Найти асимптоты и построить график функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Пример. Найти асимптоты и построить график функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Критические точки: x = 0; x = - Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ; x = Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , y¢ > 0, функция возрастает

- Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , y¢ < 0, функция убывает

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru является точкой максимума, а точка х = Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru /2 и 3 Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая проводит полное исследование функций по приведенной выше схеме. Достаточно ввести функцию, программа выведет подробный отчет о результатах исследования по каждому пункту.

Для запуска программы дважды щелкните по значку:

 
  Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Векторная функция скалярного аргумента.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru z

A(x, y, z)

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

y

х

Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = j(t); y = y(t); z = f(t);

Радиус- вектор произвольной точки кривой: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Запишем соотношения для некоторой точки t0:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Тогда вектор Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru - предел функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru (t). Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Очевидно, что

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , тогда

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

 
  Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ; Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ;

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Это выражение – вектор производная вектора Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Если имеется уравнение кривой:

x = j(t); y = y(t); z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

можно провести прямую с уравнением Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Т.к. производная Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru - вектор, направленный по касательной к кривой, то

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.

1) Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

2) Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , где l = l(t) – скалярная функция

3) Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

4) Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Уравнение нормальной плоскостик кривой будет иметь вид:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru в точке t = p/2.

Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:

x(t) = cost; y(t) = sint; z(t) = Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ;

Находим значения функций и их производных в заданной точке:

x¢(t) = -sint; y¢(t) = cost; Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

x¢(p/2) = -1; y¢(p/2) = 0; z¢(p/2)= Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

x(p/2) = 0; y(p/2) = 1; z(p/2)= p Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru /2

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

- это уравнение касательной.

Нормальная плоскость имеет уравнение:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Параметрическое задание функции.

Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

Находим производные:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Теперь можно найти производную Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической

форме.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Окружность.

Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее

точки могут быть найдены по формулам:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru 0 £ t £ 3600

Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:

x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2

Эллипс.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Каноническое уравнение: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

В

C M(x, y)

t

О N P

Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru из DОВР и Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru из DOCN, где а- большая полуось эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.

Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

где 0 £ t £ 2p

Угол t называется эксцентрическим углом.

Циклоида.

у

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

С

М К

О Р В pа 2pа х

Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru = at; PB = MK = asint;

ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).

x = at – asint = a(t – sint).

Итого: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.

Если исключить параметр, то получаем:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

Астроида.

Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса a/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса a.

 
  Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

a/4

a

Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , 0 £ t £ 2p,

Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

т.к. Ф(х) – обратная функция, то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Окончательно получаем: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример. Найти производную функции Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Способ 1: Выразим одну переменную через другую Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , тогда

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

x2 = a2cos2t; Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Кривизна плоской кривой.

 
  Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

a a

В

А А В

Определение: Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.

Определение: Средней кривизной Ксрдуги Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней кривизны при стремлении длины дуги Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ® 0.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Легко видеть, что если обозначить Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru = S, то при условии, что угол a - функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Пусть кривая задана уравнением y = f(x).

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru y

B

Dj

A j j+Dj

x

Kcp = Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ; Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru ;

Если j = j(x) и S = S(x), то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

В то же время Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Для дифференциала дуги: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , тогда

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Т.к. Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru . В других обозначениях: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).

 
  Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

A

C(a, b)

Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизныкривой в точке А.

Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.

Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.

Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.

Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.

Свойства эволюты.

Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен модулю длины соответствующей эволюты.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru С3

С2 Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

С1 Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

R1 R2 R3

M1

M’1 M2 M3

M’2

M’3

Надо отметить, что какой – либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент.

Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом состоянии.

Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Уравнения эволюты: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Окончательно: Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru - это уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.

Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Кривизна пространственной кривой.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru z

A(x, y, z)

B Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

0 y

x

Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

x = j(S); y = y(S); z = f(S);

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , тогда Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z).

Но т.к. Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru - единичный вектор, направленный по касательной.

Если принять Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , то Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Причем Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Рассмотрим вторую производную Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Определение: Прямая, имеющая направление вектора Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru .

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru , где К – кривизна кривой.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0 - student2.ru

Наши рекомендации