Расчет источника гармонических колебаний

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы — закрепить теоретический материал, научить студентов приемам и методам познавательной деятельности, умению обобщать и вырабатывать навыки творческого мышления и самостоятельной работы.

Для расчета цепей, построения графиков и оформления отчета целесообразно применять персональные ЭВМ (ПЭВМ). При этом можно пользоваться готовыми программами систем инженерных и научных расчетов типа MATLAB, MATHCAD, MICROCAP и другими или самостоятельно написанными, что способствует закреплению навыков работы с вычислительной техникой. Умение правильно использовать компьютер становится важным показателем работы специалиста. Отсутствие у студента доступа к ЭВМ не является причиной невыполнения курсовой работы или отдельных ее пунктов.

ОПИСАНИЕ СХЕМЫ

Предметом курсовой работы является исследование электрической цепи, структурная и функциональная схемы которой
показаны на рис. 1 и 2 соответственно. Схемы активного двухполюсника — источника гармонических колебаний (ИГК), четырехполюсника и параметры их элементов выдаются преподавателем по вариантам в виде раздаточного материала.

Схема источника гармонических колебаний состоит из источников ЭДС и тока одинаковой частоты и пассивных элементов разного характера, соединенных определенным образом (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Роль первичной обмотки линейного трансформатора (ТР) выполняет одна из индуктивностей L_n, входящих в состав источника. При этом последовательно с индуктивностью не должен быть включен источник тока, и ток в этой ветви не равен нулю, например L₃ на рис. 2. Если в схеме нет такой индуктивности, то ее нужно создать, включив в любую ветвь без источника тока индуктивность 100 мГн и емкость 10 мкФ. Установившийся режим в схеме источника от этого не нарушится. Линейный (воздушный) трансформатор имеет две вторичные обмотки L₈ и L₉.

Напряжение u₁ вторичной обмотки L₈ ТР подается на вход повторителя, собранного на операционном усилителе (ОУ) DA1. Ориентировочные параметры такого усилителя следующие: R_вх 0,5 мОм, R_вых 100 Ом, ₀ 510⁴, f_в=20 мГц , где ₀ — коэффициент усиления по напряжению, а f_в — верхняя рабочая частота. Часто такой ОУ используется не для получения усилительного эффекта, а для предания электрическим цепям особых свойств, получить которые без него сложно или невозможно. Для работы ОУ к нему необходимо подвести постоянное питающее напряжение U = 10...15 В. Цепи питания на схемах обычно не изображают.

В большинстве практических расчетов характеристики ОУ идеализируют. При этом считают, что входная проводимость и выходное сопротивление равны нулю, а коэффициент усиления имеет бесконечно большое значение. Выходное напряжение повторителя u₃ = u₁, мощность входного сигнала равна нулю, а мощность выходного может принимать любое значение в зависимости от нагрузки — это не противоречит закону сохранения энергии, так как она обеспечивается источником питающего напряжения ОУ.

Напряжение u₂ со вторичной обмотки L₉ ТР подается на инвертирующий вход компаратора — порогового элемента, преобразующего гармоническое (синусоидальное) колебание в разнополярные импульсы прямоугольной формы: U₄ = 10 В при u₂ 0, U₄ = –10 В при u₂ > 0. Компаратор собран на ОУ DA2 с разомкнутой отрицательной обратной связью (ООС). В цепи без ООС коэффициент усиления ОУ оказывается чрезвычайно большим и синусоидальный сигнал преобразуется в прямоугольный. Следует обратить внимание, что напряжения u₁ и u₂ находятся в противофазе, а напряжению u₃ 0 соответствует U₄ = 10 В.

Токи во вторичных обмотках трансформатора ТР для идеальных ОУ (R_вх ) равны нулю, поэтому нагрузка трансформатора никакого влияния на активный двухполюсник не оказывает.

Переключатель Кл позволяет подключить заданную схему четырехполюсника либо к выходу повторителя, либо к выходу компаратора. Переключение из одного положения в другое происходит мгновенно. В исходном (начальном) состоянии переключатель Кл находится в положении 1 (см. рис. 2). Изменение положения переключателя вызывает в схеме четырехполюсника изменение режима работы и возникновение переходного процесса.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

В учебном пособии не ставится задача проведения расчета какого-либо варианта курсовой работы. Рассматриваются отдельные фрагменты выполнения работы на примерах, позволяющих составить общее представление о характере и объеме необходимых расчетов.

Расчет источника гармонических колебаний

Пример 1. Рассчитать источник гармонических колебаний (см. п. 1.1) по схеме рис. 2, если заданы следующие исходные данные: i_J1 = sin(10³ t + 270) A, e₂ = 600 sin(10³ t + 225) B, E₃ = 500 + j500 B, R₁ = 0 Ом, C₂ = 20/3 мкФ, R₃ = 150 Ом, L₃ = 100 мГн, R₄ = 100 Ом, C₅ = 10 мкФ, L₆ = 100 мГн, R₇ = 20 Ом.

Решение. Предварительная подготовка схемы к расчету заключается в выборе положительных направлений токов в ветвях и их обозначении. Кроме того, необходимо обозначить все узлы схемы буквенными или цифровыми индексами. Для перехода к комплексной схеме замещения (рис. 3) все независимые источники нужно представить в комплексной форме (в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений) и рассчитать комплексные сопротивления всех ветвей схемы. Так, комплексные действующие значения источников будут равны:
i_J1 J₁ = 4exp( j270) = – j4, e₂ E₂ = exp ( j225) = –300
– j300, а комплексные сопротивления при w = 10³ c^–1: Z₁ = R₁ = 30, Z₂ = –jX_C2 = –j/(wC₂) = –j150, Z₃ = R₃ + jX_L3 = R₃ + jwL₃ = 150 + j100, Z₄ = R₄ = 100, Z₅ = –jX_C5 = –j/(C₅) = –j100, Z₆ = jX_L6 = jwL₆ = j100, Z₇ = R₇ = 20, где — символ соответствия между оригиналом и изображением функции.

Рис.3

Рис.4

Пример 1. Рассчитать ток I₃ в первичной обмотке трансформатора (см. рис. 2) методом эквивалентного источника.

Данный метод расчета основан на теореме об эквивалентном источнике (источнике напряжения или тока) [1–4]. В соответствии с этой теоремой ток в любой ветви m–n сколь угодно сложной электрической цепи (рис. 6, а) не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником энергии, который может быть представлен последовательной (источником напряжения — рис.

6, б) или параллельной (источником тока — рис. 6, в) схемой замещения.

ЭДС идеального источника напряжения в последовательной схеме замещения должна быть равна напряжению на разомкнутых зажимах m–n схемы; ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен току, протекающему между зажимами m–n, замкнутыми накоротко; внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость эквивалентного источника должны быть равны соответственно входному сопротивлению и входной проводимости пассивной электрической цепи (источники замещены их внутренним сопротивлением) со стороны разомкнутых зажимов m–n. Эта теорема лежит в основе метода эквивалентного источника.

Решение. Расчет неизвестного тока I₃ для исходной схемы (см. рис. 3) выполним методом, например, эквивалентного источника напряжения. Найдем параметры E _ЭГ и Z _вн, учитывая, что обмотка трансформатора с индуктивностью L₃ =100 мГн включена между точками а–е.

А. Схема для определения E_ЭГ показана на рис. 5. Направление напряжения U_{ae xx}совпадает с направлением неизвестного тока I₃. Из уравнения, составленного по методу контурных токов,

I₁₁(Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) – I ₂₂ Z ₆ = 0 при условии, что I ₂₂ = J ₁ = –j4, определяем токи

I₁₁ = 4, I₄ = I ₁₁ = 4, I₂ = I ₂₂ = –j4. Теперь из уравнения U_{ae xx} + I₄ Z₄ + I₂ Z₂ = E ₂ + E ₃, составленного согласно второму закону Кирхгофа для правого контура, находим E_ЭГ = U_{ae xx}= 400 + j400.

Рис. 5 Рис. 6

Б. Схема для определения внутреннего сопротивления генератора Z _вн = Z _{ае вх} показана на рис. 6 - здесь источники замещены их внутренним сопротивлением:

Z _вн = R₃ + R₂ + Z ₄ (Z ₅ + Z ₆) / (Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) = 150 – j150.

На основании метода эквивалентного источника напряжения определяем:

I ₃ = E _ЭГ/(Z _вн + Z_L3) = (400 + j200)/(150 – j150 + j100) = 2 + j2.

Запишем мгновенные значения тока i₃ и напряжения u_L3(t) на индуктивности L₃, представляющей собой первичную обмотку трансформатора. Комплексной амплитуде тока I_3m= (2+j2)==4exp(j45) соответствует мгновенное значение тока i(t)= 4 sin(10³t + 45). Комплексному действующему значению напряжения U_L3=I₃jX_L3=(2+j2)(j100)= –200+j200=200 exp( j45) соответствует мгновенное значение напряжения u_L3(t) = 400sin(10³t + 135). Кривые мгновенных значений токов i(t) или i(wt), напряжений u(t) или u(wt), построенные в декартовой системе координат (рис. 7), называются волновыми или временными диаграммами.

Рис. 7

Определим значения взаимных индуктивностей М₃₈ и М₃₉, необходимых для получения на вторичных обмотках линейного трансформатора заданных значений U₁ и U₂ (см. рис. 2). Пусть требуется получить напряжения

U₁ = 5 B, U₂ = 10 B. Так как U₁ == X_m38 I₃ = M₃₈ I₃, а I₃ = 2 , то M₃₈ = U₁ /(I₃) = 5/(10³ 2 ) = 1,25 = 1,77 мГн. При рассчитанном значении взаимной индуктивности комплексное значение напряжения на входных зажимах повторителя напряжения U₁ = jM₃₈ I₃ = j10³ 1,25 10^–3 (2 + j2) = 5exp ( j135). (Для проверки правильности записи равенства для U₁ необходимо задаться направлением тока I₈ в L₈, записать уравнение для U₁ с учетом магнитных связей, а затем принять I₈ = 0, так как ОУ считается идеальным.) Мгновенное значение напряжения u₁ = 5 sin (10³t + j135). Заданный коэффициент связи позволяет определить значение индуктивности L₈ вторичной обмотки трансформатора. Так как k₃₈ = M₃₈ / , то, например, при k₃₈ = 0,5 L₈ = M ²₃₈ / / (k ²₃₈ L₃) = (1,25 10^–3)² / (0,5²10010^–3) = 0,125 мГн. Аналогично: M₃₉ = U₂ / (I₃) = 10 / (10³2 ) = 2,5 = 2,54 мГн, при k₃₉ = 0,5 L₉ = M ²₃₉ / (k ²₃₉L₃) = (2,5 10^–3)² / (0,5²10010^–3) = 0,5 мГн, U₂ = – jM₃₉ I₃ = – j10³ 2,5 10^–3(2 + j2) =

=10 exp(–j45) u₂ = 10 sin (10³t – j45). Напряжение u₂ на индуктивности L₉ находится в противофазе с напряжением u₁ на L₈ (см. схему включения обмоток ТР на рис. 2).

Расчет четырехполюсника

Пример 2. Для схемы рис. 8 рассчитать токи и напряжения методом входного сопротивления, построить их векторные диаграммы. В схеме заданы: u _вх = 40 sin(10³t +/2) B, R₁ = X_C1 =
= X_C2 = R₃ = X_L3 = 10 Ом.

Решение. Обозначим точки соединения элементов схемы и токи. Выберем условно положительные направления токов в соответствии с рис. 9. Ток в неразветвленной части схемы I₁ = U _вх / Z _вх, где Z _вх — комплексное входное сопротивление схемы, Z _вх = R₁ – jX_C1 + [–j X_C2(R₃ + j X_L3)] / [R₃ + j(X_L3 – X_C2)] = 10 –j10 + [–j10(10 + j10)] / [10 + j(10 –10)] = (20 – j20) Ом.

Комплексное действующее значение входного напряжения U_вх = j40 B. Общий ток I₁ = j40/(20 – j20) = –1 + j = exp135. Токи в параллельных ветвях выразим через ток I₁: I₂ = I₁Z₃ / (Z₂ + Z₃) =

=(–1 + j)(10 + j10) / (–j10 + 10 + j10) = – 2 = 2exp( j), I₃ = I₁Z₂ / (Z₂ + Z₃) = (–1 + j)(–j10) / 10 = 1 + j = = exp( j/4).

Построим векторную диаграмму — совокупность векторов токов или напряжений на комплексной плоскости с учетом их взаимной ориентации по фазе. Ток в неразветвленной части схемы равен геометрической сумме токов I ₁ = I ₂ + I ₃. Векторная диаграмма токов с учетом выбранного масштаба m_I = 0,5 A/см представлена на рис.9, а.

Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитаем напряжения на отдельных элементах (участках) схемы (см. рис. 8). Направления напряжений принимаем совпадающими с направлением токов в соответствующих элементах. Рассчитаем падение напряжения на элементах схемы: U_R1 = U_ed =

=R₁ I₁= 10 и совпадает по фазе с током I₁; U_C1 = U_dc = X_C1 I₁ = 10 , но отстает по фазе от тока I₁ на угол p/2; U_R3 = U_cb = R₃I₃ = 10 и совпадает по фазе с током I₃; U_L3 = 14,1 и опережает по фазе ток I₃ на угол /2; напряжение U_ca = X_C2 I₂ = 20 и отстает по фазе от тока I₂ на угол /2.

Рис. 8 Рис. 9

Геометрическая сумма U_R1 + U_C1 + U_R3 + U_L3 = U_вх = U_ea, а сумма U_R3 + U_L3 равна по модулю падению напряжения на емкости С₂ — U_ca. Кроме того, эта векторная сумма равна выходному напряжению четырехполюсника.

Векторная диаграмма напряжений показана на рис.9, б (m_U = 8 B/см). Мгновенные значения тока i₁ и выходного напряжения u_вых: I₁ = exp( j3 /4) i₁ = 2 sin(10³t + 3/4), U_вых = j20 u_вых =
= 20 sin(10³t + p/2). !4283 ?> D075 <564C 2KE>4=K< 8 2E>дным напряжениями

j = y_2KE – y_2E = p/2 _ p/2 = 0, 0 >B=>H5=85 459Aтвующих значений U_вых / U_вх = 20/40 = 0,5.