Анализ качества переходного процесса

Для определения качественных показателей систем управления используют критерии (показатели) качества.

Критерии (показатели) качества делятся условно на прямые и косвенные.

Прямые показатели качества

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса системы, называютпрямыми показателями качества.

К ним относятся:

1) время управления - минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью , где - заданная малая постоянная величина, определяющая допустимую ошибку системы.

Время управления характеризует быстродействие системы, то есть её инерционные свойства.

Рис 4. Прямые показатели качества переходного процесса.

2) перерегулирование — максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или процентах:

.

Перерегулирование характеризует колебательные свойства системы.

Допустимое значение перерегулирования системы в каждом конкретном случае определяется опытом эксплуатации системы. Для хорошо демпфированных систем обычно составляет 10 - 30 %, в некоторых случаях допускается увеличение до 70 %, а иногда перерегулирование недопустимо совсем.

3) частота колебаний , где — период колебаний для колебательных переходных характеристик;

4) - число колебаний за время переходного процесса .

При проектировании систем допускают = 1-2, а иногда и до 3 -4, но некоторых случаях колебания в системе недостижимы.

5) время нарастания переходного процесса — абсцисса первой точки пересечения кривой с уровнем установившегося значения .

Максимальное время нарастания ограничивается требуемым быстродействием, минимальное время нарастания ограничивается допустимыми в системе ускорениями и колебательными режимами.

6) время достижения первого максимума .

Косвенные показатели качества

При решении большинства задач не требуется знания точной формы переходного процесса и достаточно, чтобы не выходила из области допустимых значений , , . Такая постановка задачи приводит к возможности косвенной оценки , т.е. без его построения.

Оценки качества, отображающие основные показатели качества (быстродействие, перерегулирование), получаемые по другим характеристикам, называются косвенными показателями качества.

Косвенные показатели качества можно разделить корневые, частотные, интегральные.

Корневые методы оценки качества переходного процесса

На характер переходного процесса влияют числитель и знаменатель передаточной функции замкнутой системы. Характер переходных процессов можно оценить достаточно точно по корням характеристического уравнения замкнутой САУ.

Пусть решение общего дифференциального уравнения: .

Наиболее удалённые от мнимой оси корни, имеющие ,определяют переходные процессы, затухающие быстрее, и наоборот, корни, имеющие ,определяют медленно затухающие переходные процессы.

Т.о., корневой оценкой быстродействия системы может служить расстояние от мнимой оси плоскости корней до ближайшего к ней корня, т.е.

.

Степень устойчивости - это расстояние от мнимой оси до ближайшего вещественного корня или пары сопряжённых комплексных корней.

Степень устойчивости служит мерой удаления системы от границы устойчивости, а также характеризует время затухания переходного процесса, т.е. инерционные свойства системы.

Если принять заданную точность окончания переходного процесса , то можно приближённо определить время переходного процесса системы по формуле

.

Склонность системы к колебаниям определяется наличием в системе комплексно сопряженных корней. Мерой колебательности системыможет служитьпара комплексно-сопряжённых корней, у которой отношение мнимой части корня к действительной максимально, а именно:

, где , .

Колебательность системы характеризует быстроту затухания амплитуды колебаний, т.е. является критерием колебательности переходного процесса. При увеличении возрастает число колебаний n за время управления и увеличивается перерегулирование .

Меру колебательности используют для оценки перерегулирования системы

. .

При перерегулирование .

Графически требования к устойчивости, быстродействию и точности сводятся к тому, чтобы отклонение регулируемой величины не выходило при единичном входном воздействии из некоторой области (рис 5), которая называется областью допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе («коробочка» Солодовникова), при этом корни характеристического полинома будут лежать внутри некоторой области на плоскости корней (Рис.6).

Рис. 5 Область допустимых значений h(t) Риc. 6 Область расположения корней

характеристического уравнения

Степень устойчивости определяет ближайшее к мнимой оси основание трапеции AD, т.е. ограничивает область расположения корней справа.Абсолютное значение вещественной части максимально удаленного от мнимой оси корня определяет дальнее основание трапеции CB, т.е. ограничивает область расположения корней слева. Колебательность определяет границы трапеции сверху CD и снизу AB.