Построение развертки призмы способом нормального сечения

Для построения развертки наклонной призмы, изображенной на рис. 9.3 необходимо найти истинные величины боковых ребер и сторон основания призмы. Призма расположена так, что ее боковые ребра параллельны плоскости П₂ и проецируются на нее в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются на плоскость П₁ без искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны, однако этого еще недостаточно для построения истинной формы боковых граней.

Рис. 9.3. Построение развертки призмы

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами, которые не могут быть построены по четырем сторонам. Для построения параллелограмма необходимо помимо длины сторон знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму плоскостью ∑( ∑₂), перпендикулярной к ребрам (способ нормального сечения), и определим истинную величину сечения путем замены плоскостей проекций. Стороны этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь приступаем к построению развертки. На свободном месте чертежа проводим горизонтальную прямую m и откладываем на ней отрезки /1 - 2/ = /1₄ - 2₄/, /2 - З/ = /2₄ - 3₄/ и /3 - 1/ = /3₄ - 1₄/.

Через точки 1, 2, 3, 1 проводим перпендикуляры к прямой m и откладываем на них величины боковых ребер так, чтобы /А1/ = /А₂1₂/ и /1К/ = /1₂К₂/, /В2/ = /В₂2₂/ и /2L/ = /2₂L₂/ и т. п.

Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания, получим полную развертку призмы. Построение на развертке точки 4, принадлежащей поверхности призмы, понятно из чертежа.

9.3. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей

Необходимо отметить, что к развертывающимся поверхностям относятся только торсы (поверхности с ребром возврата, коническая и цилиндрическая поверхности).

Рис. 9.4. Построение развертки эллиптического конуса

Развертка любой развертывающейся поверхности (кроме гранных) является приближенной. Это можно объяснить тем, что при развертке такой поверхности ее аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении развертки поверхности происходит спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что и приводит к потере точности. Обычно строят приближенные развертки поверхностей, вполне пригодные для практических целей. Используя способ триангуляции необходимо определить истинные величины ребер вписанной пирамиды. Поверхность заменяется многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней. Рассмотрим применение способа триангуляции к построению развертки эллиптического конуса, изображенного на чертеже (рис. 9.4).

Триангуляция конической поверхности осуществляется вписыванием в нее пирамидальной поверхности, которая определяется ломаной 1 - 2 - 3 - 4, ..., вписанной в направляющую кривую конуса, и вершиной S. Развертка этой n-угольной пирамиды и принимается за развертку конуса. Все построения на чертеже (рис. 9.4) выполняются аналогично построениям на чертеже (рис.9.2). Ломаная линия 1 - 2 - 3 - 4, ..., получающаяся на развертке пирамиды, заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки.

При построении разверток цилиндрических поверхностей способ триангуляции, как правило, не применяется. Цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) вписанной в нее призматической поверхностью, которая определяется ломаной 1 - 2 - 3 - 4, ..., вписанной в направляющую кривую цилиндра, и направлением образуюших. Развертка этой п-угольной призмы и принимается за развертку цилиндра (рис. 9.5). Все построения выполняются, как на рис. 9.3.

Ломаная линия - 2 - 3 - 4, ..., получающаяся на развертке призмы, заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, соответственно равными 2пr и h, где r - радиус окружности основания цилиндра, а h - его высота.

9.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей

Развертку неразвертывающейся поверхности построить нельзя. Для построения условной развертки такой поверхности применяют метод аппроксимации, который заключается в следующем.

Данная неразвертываюшаяся поверхность Ф разбивается на некоторые отсеки. Каждый из этих отсеков заменяется отсеком кривой развертывающейся поверхности. Совокупность всех отсеков развертывающихся поверхностей называется обводом Ф' поверхности Ф. С помощью триангуляции обвод Ф' заменяется обводом Ф" гранных поверхностей. Развертка гранных поверхностей, образующих обвод Ф", принимается за условную развертку поверхности Ф. При свертывании такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение или сжатие отдельных ее участков.

Построение развертки сферы

Сферическая поверхность является неразвертывающейся. Существующие методы построения ее развертки дают лишь приближенные результаты.

Сущность одного из них заключается в том, что элемент сферической поверхности заменяется элементом цилиндрической поверхности касательной к сфере по главному меридиану m. Ось такой цилиндрической поверхности проходит через центр сферы перпендикулярно G_2. При этом под элементом сферы понимают часть ее, ограниченную двумя большими окружностями.

Для выполнения построения развертки поверхность сферы необходимо:

1) разделить большими окружностями на несколько (например 6) равных частей. Каждый из образовавшихся элементов сферы проецируется на плоскость П₁, в виде сектора;

2) описать вокруг сферы цилиндрическую поверхность, ось которой проходит через центр сферы перпендикулярно к П₂;

3) заменить элемент сферы частью цилиндрической поверхности. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента окажется треугольник А₁В₁О₁, а фронтальной - контур сферы (дуга окружности).

4) для построения развертки цилиндрического элемента (лепестка) разделить его фронтальную проекцию на восемь равных частей;

5) построить горизонтальные проекции образующих, соответствующих точкам деления. Истинные длины отрезков образующих для построения развертки взять с горизонтальной проекции (отрезки А₁ В₁, С₁ D₁, E₁ F₁, G₁ H₁) а расстояния между ними измерить на фронтальной проекции (расстояния между точками 1₂2₂, и 2₂3₂);

6) при построении цилиндрического элемента (лепестка) через середину отрезка АВ = А₁В₁ провести вертикальную ось симметрии лепестка на которой отложить вверх и вниз четыре отрезка 1₀ -2₀ = 1₂2₂, 2₀ - 3₀ = 2₂3₂, 3₀ - 4₀ = 3₂4₂, 4₀ - 5₀ = 4₂5₂.

7) через точки 2₀, 3₀, 4₀ провести отрезки C₀D₀ = C₁D₁, E₀F₀, G₀H₀ = G₁H₁.

8) соединить плавной кривой концы отрезков, в результате чего получится развертка верхней половины лепестка.

При выполнении построения развертки часто возникает необходимость определить положение какой-либо точки на поверхности. Рассмотрим положение точки К на поверхности сферы и перенесем ее изображение на развертку. Это можно выполнить с помощью двух координат дуг S₁ и S₂. S₂ показывает смещение точки К от экватора к полюсу, а дуга S₁ - смещение ее от одного из меридианов по параллели сферы. Дуга S₂ равна той части меридиана сферы, которая ограничена экватором и параллелью, проходящей через точку К (К₂).

Длину этой дуги S₂ = К₂^´М₂ нужно откладывать на развертке от экватора соответствующего лепестка по вертикальной оси симметрии.

Строим развертку каждого сектора (лепестка) цилиндрической поверхности. На чертеже показана развертка одного из них. Затем ломаная 1 - 3 - 5 - 7... заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки. Полученная фигура принимается за условную развертку сектора сферы. Полная развертка будет состоять из восьми таких фигур (рис. 9.6).

Рис. 9.6. Построение развертки сферы