Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве

Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MM_o на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, ½MM_o½= z. Обозначим r =½OM½, y =Ð M_oOM ; при этом, если z >0, то считаем, что y >0, а если z <0, то y <0. Пусть (r, j) – полярные координаты точки M_o на

плоскости. Тогда тройка (r, j, y) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, j, z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0 £ r < +¥, –p/2 £ y £ p/2 . Если y = ± p/2, то точка M лежит на оси Oz, M_o= O и тогда j считается неопределенным.

Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты

точки M. Из DOMM_o находим, что

r = r×cosy , r = ,

z = r×siny . (15) y = arcsin (15¢)

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а j у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14¢ ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14¢ ) в (15¢) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x = r cos j×cosy , r = ,

y = r sin j×cosy , (16) j = ± arccos , (16¢)

z = r×siny . y = arcsin( z /r) .

Во второй формуле из (16¢) знак выбирается в соответствии со знаком y.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса r, то j и y будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(j, y). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то j и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(j, z).

Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий.

Преобразование координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы системы координат Oxy и O¢x¢y¢, у которых направления координатных осей совпадают, но начальные точки O и O¢ разные. Говорим, что вторая СК получена из первой переносом начала координат в точку O¢.

Пусть нам известны координаты точки O¢ относительно первой СК: O¢(a, b). Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относительно первой СК, (x¢, y¢) – относительно второй СК. Найдем связь между этими координатами.

По определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Поэтому

(a, b), (x, y), (x¢, y¢).

По правилу треугольника сложения векторов

= + .

Отсюда

x = x¢ + a, x¢ = x – a,

y = y¢ + b. y¢= y – b.

Аналогично, если в пространстве мы совершим перенос начала координат в точку O¢(a, b, c), то к

формулам (17) и (17¢ ) только добавятся равенства z¢= z + c и z = z¢+ c .

Заметим, что все наши рассуждения справедливы и в случае переноса начала произвольной аффинной СК.

Пусть теперь на плоскости заданы две декартовы СК с общим началом: Oxy и Ox¢y¢. Пусть a – ориентированный угол между положительными направлениями осей Ox и Ox¢. Тогда говорим, что вторая СК получена из первой поворотом на угол a. Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относи-

тельно первой СК, ( x¢, y¢) – относительно второй СК.

Найдем связь между этими координатами. Пусть j – ориентированный угол между положительным направлением оси Ox и вектором , а y – между Ox¢ и . Тогда j = y + a . Обозначим r =½OM½. Тогда

x = r cos j , x¢= r cos y,

y = r sin j . y¢= r sin y .

x = r cos (y + a) = r cos y ×cos a – r sin y×sin a = x¢×cos a – y¢×sin a,

y = r sin (y + a) = r cos y ×sin a + r sin y×cos a = y¢×sin a + y¢×cos a.

Итак,

x = x¢×cos a – y¢×sin a,

y = x¢×sin a + y¢×cos a.

Поскольку вторая СК может быть получена из первой поворотом на угол – a, то с учетом cos(-a) = cos a, sin(-a) = – sin a , из (18) получаем

x¢= x ×cos a + y×sin a,

y¢= – x ×sin a + y×cos a.

Если в пространстве совер-шается поворот СК вокруг оси Oz, то координата z точки M не изменится, а x и y будут изменяться по тем же формулам (18) и (18¢). Самостоятельно выпишите формулы преобразования координат при повороте СК в пространстве вокруг Ox и Oy.

Важно не путать поворот СК с поворотом плоскости. Пусть точ-ка M ¢(x¢, y¢) получается из точки M(x, y) поворотом вокруг начала координат на угол a . Для того, чтобы найти, как выражаются (x¢, y¢) через (x, y) мы представим ситуацию так: точка M остается на месте, а СК поворачивается в обратном направлении, т.е. на угол – a . Поэтому имеем формулы

x¢= x×cos a – y×sin a,

y¢= y×sin a + y×cos a.

Допустим, теперь на плоскости заданы две совершенно произвольные декартовы СК Oxy и O¢x¢y¢. Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: сначала мы совершаем перенос начала координат в точку O¢ (получим промежуточную СК O¢x²y²), а затем – поворот координатных осей. Тогда

x²= x – a, x = x²+ a,

y²= y – b. y = y²+ b.

x¢ = x²×cos a + y²×sin a, x²= x¢×cos a – y¢×sin a,

y¢ = –x²×sin a + y²×cos a. y²= y¢×sin a + y¢×cos a.

Подставляя x² и y² из первой системы в третью, получаем, что

x¢= (x – a)×cos a + (y – b)×sin a,

y¢= –(x – a)×sin a + (y – b)×cos a.

Упражнение. Самостоятельно выпишите формулы, по которым (x, y) выражаются через (x¢, y¢ ).