Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).

Пусть искомая физическая величина Y является функцией измеряемой величины x.

Y =f(x)

Так как величина x не может быть определена абсолютно точно, то и рассчитанное значение Y будет содержать погрешность. Значение искомой функции следует находить, как функцию среднего арифметического значения измеренной величины Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru , то есть в формулу для ее определения подставить вычисленное среднее значение Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru

Как определить погрешность функции, если известна погрешность аргумента?

Для этого пользуются известным соотношением между дифференциалом функции df(x)и бесконечно малым приращением аргумента dx:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru

Полагая Dx»dx, а DY»dY , получаем выражение для погрешности функции:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (17)

где Dx =tp,n-1 Sx , Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru - производная функции Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru при x = Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru .

Иногда оказывается удобнее (проще) вычислить сначала относительную погрешность, а уже зная ее, определить доверительный интервал. Учитывая то, что: Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru легко видеть, что относительную погрешность функции можно вычислить, воспользовавшись следующей формулой:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (18)

§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок)

В общем случае искомая физическая величина может быть функцией не одной, а нескольких измеряемых величин, то есть: Y= f(X1, X2,…Xn)* Каждая из величин X1, X2,…Xn определяется с соответствующей погрешностьюDX1, DX2,… DXn. В этом случае средняя квадратичная погрешность функции будет равна корню квадратному из суммы квадратов частных производных функции по всем независимым переменным, домноженным на среднеквадратичную погрешность соответствующей величины:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (19)

В данной формуле каждая скобка под корнем представляет собой вклад погрешности соответствующей величины в погрешность функции. Если погрешности различных измеряемых величин определены с одной и той же доверительной вероятностью, то формулу можно переписать в следующем виде:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (20)

Относительная погрешность функции может быть вычислена по формуле:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (21)

Приведенные формулы справедливы для любых функциональных зависимостей, однако, они довольно громоздки, производить по ним расчеты бывает достаточно сложно, они требуют больших затрат времени. В некоторых случаях бывает удобнее использовать выражения, преобразованные для частных случаев функциональной зависимости. Рассмотрим несколько таких частных случаев.

Погрешность алгебраической суммы

Пусть функция имеет вид:

Y = Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru , тогда среднеквадратичная погрешность такой функции будет определяться:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (22)

а выборочная дисперсия:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (23)

То есть выборочная дисперсия алгебраической суммы равна суммевыборочных дисперсий отдельных независимых переменных. Обратите внимание,на то, что в выражение для выборочной дисперсии функции все слагаемые входят со знаком «+», независимо от того, с каким знаком соответствующая величина входила в алгебраическую сумму.

Погрешность произведения.

Пусть функция имеет вид:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru или Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru

В этих случаях, воспользовавшись формулой (21) и, учитывая то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, получаем выражение для относительной погрешности функции:

Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru (24)

То есть относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей. Также как и в случае суммы, обратите внимание, на то, что все слагаемые под корнем берутся со знаком «+», независимо от того в числитель или знаменатель выражения функции они входили.

Производить расчет по этой формуле обычно гораздо проще, чем по формуле (19), а доверительный интервал искомой величины легко найти: Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru .

Погрешности некоторых элементарных функций.

1. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru , где С=const; Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru

2. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru ; Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru

3. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru ; Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок). - student2.ru

Наши рекомендации