Знаки тригонометрических функций

	sin α	cos α	tg α	ctg α
0< α <π/2	+	+	+	+
π/2< α < π	+	–	–	–
π< α <3π/2	–	–	+	+
3π/2< α <2π	–	+	–	–

Значения функций характерных углов

радианы		π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
градусы	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
sin α		½	√2/2	√3/2			–1
cos α		√3/2	√2/2	½		–1
tg α		√3/3		√3	∞		∞
ctg α	∞	√3		√3/3		∞		∞

Формулы приведения. Чётность.

аргумент	функция	sin	cos	tg	ctg
–α	–sinα	cosα	–tgα	–ctgα
π/2 ± α	cosα	sinα	ctgα	tgα
π ± α	sinα	–cosα	tgα	ctgα

Основные соотношения

sin²α + cos²α = 1; tgα · ctgα = 1; tgα = sinα/cosα = 1/ctgα;

ctgα = cosα/sinα = 1/tgα; 1 + tg²α = 1/cos²α; 1 + ctg²α = 1/sin²α; secα = 1/cosα; cosecα = 1/sinα;

Периодичность

функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα – период π.

sin(α + 2πn) = sinα, n Z; cos(α + 2πn) = cosα, n Z; tg(α + πn) = tgα, n Z; ctg(α + πn) = ctgα, n Z;

Формулы для суммы и разности аргументов.

sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ; cos(α ± β) = cosα · cosβ sinα · sinβ;

tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1 tgα · tgβ); ctg(α ± β) = (ctgα · ctgβ 1) / (ctgβ ± ctgα);

Функции двойных углов

sin2α = 2sinα · cosα; cos2α = cos²α – sin²α = 1–2sin²α = 2cos²α – 1;

tg2α = 2tgα / (1–tg²α); ctg2α = (ctg²α – 1) / 2ctgα;

Функции половинного угла

sin(α/2) = ± cos(α/2) = ± tg(α/2) = ±

2sin²(α/2) = 1 – cosα; 2cos²(α/2) = 1 + cosα; sin²α = (1–cos2α) / 2

Функции полного угла

sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg²(α/2)); cosα = (1–tg²(α/2)) / (1+tg²(α/2)); tgα = 2tg(α/2) / (1–tg²(α/2));

Функции тройного угла

sin3α = 3sinα – 4sin³α; cos3α = 4cos³α – 3cosα;

Произведения тригонометрических функций

sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α – β)); cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α – β));

sinα · sinβ = ½ · cos(α – β) – cos(α + β));

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α – β)/2); sinα – sinβ = 2 · sin((α – β)/2) · cos((α + β)/2);

cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α – β)/2); cosα – cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α – β)/2);

tgα ± tgβ = sin(α ± β) / (cosα · cosβ); cosα ± sinα = ;

Тригонометрические уравнения

sinα = a, α = arcsin a + 2π·n, n Z;

α = π – arcsin a + 2π·n, n Z;

cosα = a, α = ± arccos a + 2π n, n Z;

tgα = a, α = arctg a + π·n, n Z;

ctgα = a, α = arcctg a + π·n, n Z.

Частные случаи

sin x = ±1, x = ± π/2 + 2π, n Z; sin x = 0, x = πn, n Z;

cos x = –1, x = π + 2πn, n Z; cos x = 0, x = π/2 + πn, n Z; cos x = 1, x = 2πn, n Z;

Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента

arcsin(–α) = –arcsinα; arccos(–α) = π – arccosα; arctg(–α) = –arctgα; arcctg(–α) = = π–arcctgα;

Таблица первообразных

Функция.	Первообразная.
ex	ex+C
sin x	– cosx +C
cos x	sinx + C
sin(kx + b),
cos(kx+b),
	tgx + C
	−ctgx + C

ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОД КООРДИНАТ

Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:

;

Пусть A ( x₁; y₁; z₁); B (x₂; y₂; z₂); тогда:

вектор ; модуль вектора

ТРЕУГОЛЬНИК

внешний угол СВД = ; К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). h_a, h_b, h_c – высоты треугольника на соответствующие стороны.

где полупериметр .

М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

m_a, m_b, m_c – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1

Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). L_a, L_b, L_c – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС

r – радиус вписанной окружности. О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности). Радиус описанной окружности:

где S_Δ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; h_c –

высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

MN – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

где R – радиус описанной окружности.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.

– формула Герона.