Операции над пределами последовательностей

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов:

, .

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

, .

В частности:

· постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, ;

· предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

,

3. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:

, .

4. Предел корня к – й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

, .

Отметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях операций (1) – (3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы и .

Например, если

, ,

то и не имеют пределов, в то время как

,

.

Операции над пределами во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли числовая последовательность предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими последовательностями, существование и величина пределов которых известны.

Неопределенности различного вида

Пусть даны две последовательности , и . Рассмотрим отношение этих последовательностей. О пределе этого отношения последовательностей заранее ничего определенного сказать нельзя, так как в зависимости от самих последовательностей предел их отношения может принимать различные значения. Например:

если , , то ;

если , , то ;

если , , то ;

если , , то ,

а этот предел не существует.

Таким образом, для нахождения предела последовательности недостаточно знать, что , . Нужны еще дополнительные сведения о характере изменения и .

Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.

Возникают неопределенности различного вида.

1.Если , , то говорят, что выражение представляет собой неопределенность вида .

2.Если , , то выражение также представляет собой неопределенность и ее называют неопределенностью вида .

3.Если , , то для выражения получаем неопределенность вида .

4.Если , , то выражение представляет собой неопределенность вида .

Раскрыть соответствующую неопределенность – это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения.

§3. Неопределенность вида

Правило.Чтобы раскрыть неопределенность вида надо числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.

Пример 1.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

Дробь - есть отношение двух бесконечно больших величин, о котором без исследования ничего определенного сказать нельзя –неопределенность вида . Здесь также нельзя применить теорему о пределе частного, так как в условии этой теоремы предполагается, что пределы числителя и знаменателя существуют, а в нашем случае при .

В этом случае поступают так: числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень n,встречающуюся в членах дроби (в данном случае на n ).

.

.

Ответ: .

Пример 2.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

Здесь неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень n, встречающуюся в дроби, т.е. на :

.

.

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить предел .

Решение.

При ,

т.е. возникает неопределенность вида .

Последовательность sin n ограничена ( ).

Разделим числитель и знаменатель дроби на n

=

,

т.к. бесконечно малая последовательность при и произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность, поэтому при .

Ответ:

.

§4. Неопределенность вида в случае арифметической, геометрической прогрессий и факториалов

Правило 1.

Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае арифметической прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: .

Пример 1.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

В знаменателе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.

В нашем случае , тогда

.

Получаем, = .

Ответ:

.

Правило 2.

Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае геометрической прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: .

Пример 2.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

Данная последовательность представляет собой сумму двух геометрических прогрессий:

.

Применим формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Для первой прогрессии

для второй прогрессии .

Имеем,

=

=

т.к. если число

то при

Ответ:

.

Правило 3.

Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае факториалов надо выразить все факториалы последовательности через наименьший и сократить на него.

Пример 3.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

По определению ,

,

.

Поэтому, числитель и знаменатель стремятся к , т.е. мы имеем неопределенность вида . Выберем наименьший факториал и выразим через него все остальные. В нашем примере наименьшим будет . Тогда , . Имеем

Здесь при .

Ответ: .

§5. Неопределенность вида

Правило.

Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней последовательность домножается на сопряженное выражение и применяется формула . В случае кубических корней последовательность домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула .

Пример 1.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

При вычислении данного предела мы не мажем применить теорему о пределе разности двух переменных, ибо эта теорема верна только в том случае, когда обе переменные имеют предел. В нашем случае при , и мы имеем дело с разностью двух положительных бесконечно больших величин. Без специального исследования этой разности ничего определенного сказать нельзя, т.е. имеем неопределенность . Данная неопределенность раскрывается путем избавления от иррациональности. Вспоминая формулу , умножим и разделим выражение на сопряженное .

После преобразований получили дробь, у которой числитель и знаменатель бесконечно большие последовательности ( , , , а следовательно, и ). Возникает неопределенность , которая раскрывается путем деления числителя и знаменателя на n в наибольшей степени, в нашем случае на n.

так как при предел числителя равен 5, а знаменатель есть величина бесконечно малая, как сумма двух бесконечно малых величин. Т.е. мы имеем дело с величиной, которая обратна бесконечно малой, а такая величина есть бесконечно большая.

Ответ:

.

Пример 2.

Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.

При , поэтому имеем дело с неопределенностью вида .

Для раскрытия неопределенности применим формулу .

Положим , а затем умножим и разделим на неполный квадрат разности выражения . Имеем,

т.к. знаменатель дроби при есть сумма трех положительных бесконечно больших величин, а поэтому есть величина бесконечно большая. Величина же, обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, предел которой равен нулю.

Ответ: .