Модель стержня с одним шарниром

Изучим поведение стержня с точки зрения теории катастроф. Заменим наш стержень системой из двух жестких стержней шарнирными соединениями в точках А, В, С и пружиной в В, которая стремиться выпрямить шатуны в одну линию. Если пружина линейна, она создаст усилие , пропорциональное углу , и будет обладать потенциальной энергией , где – постоянная упругости пружины.

Рисунок 1.36 - Конечно-элементная модель стержня (2 стержня с пружиной)

Допустим, что каждое колено (шатун) имеет длину равную 1. Суммируя потенциальную энергию пружины и потенциальную энергию, отвечающую положению силы , мы получим полную энергию (с точностью до константы)

.

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора до четвертого порядка точности. В результате получим

.

откуда

.

Когда меньше , имеет минимум при (и нетрудно увидеть, что это единственный минимум).

Когда , имеет вырожденный минимум, в котором немедленно узнается точка стандартной сборки, так как коэффициент при положителен.

Проводя через значение , скажем полагая , мы получим деформацию

.

Она универсальна среди четных функций (хотя мы и не дали алгебры, нужной для установления этого факта), и в действительности деформация исходной функции U сильно эквивалентна вблизи интересующей нас точки деформации диаграмма катастрофы для которой представлена на рисунке, а.

Рисунок 1.37 - Катастрофа сборки для модели стержня с одним шарниром

Но симметрия является здесь, неприемлемой как абсолютное ограничение, введение же почти любой асимметричной силы (рисунок 1.37 б) приводит нас к обычной картине сборки (рисунок 1.37 в). Для силы G такой, как показано на рисунке, имеем

так что

,

или

.

Отсюда следует, что U сильно эквивалентна

,

а это, с точностью до линейной замены, стандартная сборка.

В отличие от рассмотренного выше симметричного случая это описание структурно устойчиво. Возмутим функцию , заменив ее на , где – любая функция от и каких угодно других управляющих параметров, включенных в описание системы (разность длин шатунов, боковые смещения нагрузки , угол между и перпендикуляром к ). Тогда при малых значениях и прочих дополнительных параметров сохраняется не только та же картинка, но и та же формула, с точностью до гладкой замены переменных. Точка острия, направление острия и прочие параметры перемещаются плавно с изменением и дополнительных параметров. Это – следствие универсальности трансверсальных деформаций и устойчивости трансверсальности.