Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассм. интегралы вида ∫R(sinx, cosx)dx , где R - рациональная функция.

Интегралы такого вида берутся с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg(x/2) = t

Выразим sin x, cos x с помощью tg половинного угла, имеем:

2tg(x/2) 2t

1+tg²(x/2) 1+t²

1- tg²(x/2) 1- t²

1+tg²(x/2) 1+t²

dx =

2dt

1+t²

∫R ,

2dt 1- t² 2dt

1+t² 1+t² 1+t²

Частные случаи подстановок.

Рассм. подстановки, кот. быстрее приводят к цели в нек. случаях, чем предыдущая подстановка.

1. ∫R(sinx, cosx)dx, где R – нечетная ф-я относ-но sin х, тогда делаем подстановку cos x = t и под знаком ∫ выполняем все действия, заменяя х на t.

2. Если R- нечетная ф-я относ. cos x, то sin x = t.

3. ∫sim^mx * cosⁿx dx

а) из m, n – явл. нечетными, если n- нечетное, то примен. подстановка х=t. Если m – нечетное, то примен. подстановка cos x = t.

б) оба показателей m, n – четные полож. числа. В этом случае степень подынтгр. выраж-я пониж. С помощью тригон. ф-л:

sin²x = (1-cos²x)/2, cos²x = (1+cos2x)/2, sinx * cosx = 1/2 sin2x