Відстань між двома точками
8. Знайти відстань між двома точками: 1) (5, 7) і (2, 3); 2)
(– 10, 8) і (2, 3); 3) (0, –3) і (– 4, 0); 4) (4, –5) і (–2, 3); 5) (– 10, 10) і (– 2, –5); 6) (m, nsina) i (mcosa, n).
9. Знайти відстань між початком прямокутної системи координат і точкою: 1) (–3, 4); 2) (2½, 6); 3) (а + b, a – b).
10. Знайти довжини сторін трикутника, координати вершин якого: 1) (4, – 5), (– 1, 7), (– 2, 3); 2) (2, –3), (8, 5), (– 7, – 3);
3) (0, 0), (15, 8), (5, –7); 4) (3, 0), (3, 11), (– 9, 16).
11. Сторони прямокутника, які дорівнюють 8 і 15, є осями координат. Знайти довжину його діагоналі.
12. Визначити довжини сторін чотирикутника, якщо координати його вершин такі: (1½, 2), (2, 2), (– 3, –10), (– 4½, – 6).
13. Знайти довжини діагоналей чотирикутника, коли відомі координати його вершин: (3, 5), (6, 9), (11, – 1), (– 3, – 3).
14.Знайти у, якщо відстань точки (10, у) від точки (2, – 7) дорівнює 17.
15. Координати кінців основи рівнобедреного трикутника (0, 8) і (4, 5). Визначити довжини сторін трикутника, якщо абсциса вершини дорівнює нулю.
16. Точка, ордината якої – 2, однаково віддалена від точок (15, 3) і (8, 10). Визначити абсцису цієї точки.
17. Знайти координати точки, однаково віддаленої від точок
(– 4, 12), (8, – 4), (– 6, –2).
Поділ відстані між двома точками пополам
18. Знайти координати середини відрізка прямої, що сполучає точки: 1) (8, 3) і (4, – 5); 2) (– 5, 2) і (– 2, –4); 3) (1½,0) і (– 2½, 5).
19. Відстань між точками (3, 0) і (5, – 4) поділено на 4 рівні частини. Визначити координати точок поділу.
20. Вершинами трикутника є точки з координатами: (4, – 3),
(– 3, –5), (0, 4). Знайти координати середин сторін трикутника.
21. Відстань між точками (х, 4) і (– 6, у) поділяється в точці
(– 1, 1) пополам. Знайти ці точки.
22. Відстань між точками (– 5, 2) і (х, у) поділяється в точці
( – 1½, – 1) пополам. Знайти координати х та у другої точки.
23. Вершинами трикутника є точки з координатами: (7, 4),
(– 4, 6), (2, – 5). Знайти координати середин його медіан.
24. Координатами двох сусідніх вершин паралелограма є точки: (2, – 3) і (– 3, 4), а діагоналі його перетинаються в початку координат. Знайти координати двох інших вершин паралелограма.
Перетворення координат
25. Початок координат перенесено в точку (–2, 3) без зміни напряму осей. Знайти нові координати точки (4, –5).
26. Якими будуть координати точки (– 3, – 1), якщо початок координати перенести в точку (3, – 2), не змінюючи напрямів осей?
27.Рівняння деякої кривої у прямокутній системі координат подається так: . Якого вигляду набере це рівняння, якщо без повороту осей перенести початок координат у точку (2, 3)?
28. Дано дві прямокутні системи координат, відповідні осі яких паралельні одна одній, і координати (2, 5), (– 1, 0), (– 2, – 4) трьох точок у першій системі. Знайти координати двох перших із цих точок у другій системі, знаючи, що (1, 1) — координати третьої.
Нехай полюс О полярної системи збігається з початком прямокутної системи, а полярна вісь збігається з додатно напрямленою віссю абсцис. За цих умов розв’язати задачі 29—31.
29. Знайти прямокутні координати точок, полярні координати яких r і j відомі: 1) r = 3, j = p/3; 2) r = 5, j = p/4; 3) r = 4,
j = p/2; 4) r = 2, j = p; 5) r = 2, j = ½p; 6) r = 4, j = p.
30. Рівняння, записані в полярній системі координат, подати у прямокутних координатах: 1) r = 3cos t; 2) r2sin2 t = a2;
3) r2 = a2cos2 t; 4) r = a(1 + cos t); 5) r2cos2 t = a2.
31. Рівняння, записані у прямокутній системі координат, подати в полярних координатах: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Мішані задачі на площині
32. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (– 2, 1) і нахилена під кутом 30° до прямої х – 2у = 3.
33. Скласти рівняння прямої, що утворює кут 45° із прямою
3х + у – 2 = 0 та проходить через точку перетину цієї прямої з віссю ординат.
34. На прямій 3х – 3у – 7 = 0 знайти точку, рівновіддалену від точок (3, – 4) і (7, 2).
35. На прямій 2у – 3х = 5 узято відрізок, кінці якого мають абсциси –1 і 5, а на прямій 3у + 4х =2 — відрізок, кінці якого мають ординати – 2 і 6. На кожному із цих відрізків побудовано по рівнобедреному трикутнику, що мають спільну вершину. Знайти координати цієї вершини.
36. Знайти рівняння прямої, що сполучає основи перпендикулярів, опущених із початку координат на прямі і .
37. Дано прямі і . Записати рівняння перпендикулярів до кожної із цих прямих у точці їх перетину.
38. Дві непаралельні сторони паралелограма подаються рівняннями і , а його діагоналі перетинаються в точці (5, 5). Знайти рівняння двох інших його сторін.
39. Визначити координати точки, віддаленої від прямої на відстані, що дорівнює 5, і рівновіддаленої від точок (3, – 2) і (– 5, 4).
40. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (12, 4), коли відомо, що різниця відстаней цієї прямої від точок (8, – 9) і (– 7, 7) дорівнює 9.
41. Сторони трикутника подаються рівняннями , і . На першій стороні знайти координати точки, рівновіддаленої від двох інших сторін.
42. Вершинами трикутника є точки А (1, 2), В (– 1, 1) і
С(–2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.
43. Знайти рівняння бісектриси кута, утвореного прямими і .
44. Діагоналі ромба дорівнюють 8 і 15. Приймаючи їх за осі координат, знайти відстань між протилежними сторонами.
45. Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 12, а основа 10. Узявши ці дві прямі за осі координат, знайти рівняння і довжини перпендикулярів, опущених на бічні сторони із протилежних вершин.
46. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. Узявши їх за осі координат, знайти довжини перпендикулярів, опущених із вершин на медіани, проведені до цих катетів.
47. Висоти трикутника, рівняння двох сторін якого і , перетинаються в початку координат. Знайти рівняння третьої його сторони.
48. На прямій знайти точку, що задовольняє таку умову: прямі, проведені через неї з точок (2, 3) і (7, 5), утворюють із даною прямою рівні кути.
49. Через точку М(2, 1) провести пряму так, щоб перпендикуляри, опущені на неї з точок А(5, 2) і В(7, 5), були рівні між собою.
50. Із точки, узятої на прямій , проведено дві взаємно перпендикулярні прямі. Знайти рівняння цих прямих, якщо одна з них проходить через точку (– 3, – 3), а друга — через точку (4, 6).
51. Координати кінців однієї зі сторін квадрата: (–3, –3) і
(5, 3). Знайти рівняння його сторін.
52. Координати кінців однієї діагоналі квадрата: (– 1, 3) і
(3, 1). Знайти рівняння його діагоналей і сторін.
53. Сторона квадрата, одна з вершин якого міститься в початку координат, дорівнює а й утворює кут j із віссю абсцис. Записати рівняння сторін і діагоналей цього квадрата.
54. Дві паралельні сторони ромба подаються рівняннями і , а одна з діагоналей — рівнянням . Скласти рівняння двох інших сторін.
55. Дві протилежні вершини ромба містяться в точках А(3, 4) і С(1, – 2). Сторона АВ нахилена до осі абсцис під кутом 45°. Знайти рівняння всіх сторін ромба.
56. Точки перетину прямої з осями координат і центр кола є вершинами трикутника. Знайти координати точки перетину двох його медіан і показати, що й третя медіана проходить через цю саму точку.
57. Скласти рівняння дотичної до еліпса , яка відтинає на координатних осях рівні відрізки.
58. Дано еліпс . Знайти рівняння дотичної до нього, паралельної прямій .
59. Знайти рівняння еліпса, осі якого паралельні осям координат, коли відомі рівняння дотичних до нього прямих: і .
60. З точки (10, 9) проведено дотичні до конічного перерізу . Знайти: 1) рівняння хорди, що сполучає точки дотику; 2) рівняння зазначених дотичних; 3) площу трикутника, який визначається цими прямими.
61. Дано координати вершин трикутника А (1, 2), В (– 1, 1) і С (– 2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.
62. Знайти площу чотирикутника, вершинами якого є центри двох кіл і , а також точки їх перетину.
63. До еліпса і кола проведено спільну дотичну в першому квадранті. Під яким кутом цю дотичну видно з початку координат? Виконати обчислення при ; .
64. З точки М (5, 3) до еліпса проведено дві дотичні. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки М на пряму, яка сполучає точки дотику.
65. До лінії проведено нормаль, що перпендикулярна до прямої . Знайти відстань від центра кривої до цієї нормалі.
66. До лінії проведено дотичну паралельно прямій . Знайти кут, утворений цією дотичною з діаметром, проведеним через точку дотику.
67. Скласти рівняння дотичної до еліпса , якщо діаметр, який проходить через точку дотику, паралельний прямій .
68. З точки (1, 2) проведено дотичні до еліпса . Знайти відстань від даної точки до прямої, що сполучає точки дотику, і обчислити площу трикутника, вершинами якого є дана точка і точки дотику.
69. Через точки перетину кіл і провести нове коло так, щоб центр його лежав на прямій .
70. Через фокус F параболи проведено пряму з кутовим коефіцієнтом , яка перетинає директрису параболи в точці N. Знайти кут між дотичними, проведеними до параболи через точку N, і показати, що хорда, яка сполучає точки дотику, проходить через фокус і перпендикулярна до прямої FN.
71. Фокуси еліпса містяться в точках перетину кіл і , а ексцентриситет дорівнює 0,6. Знайти відстань від кожної з точок перетину директрис із великою віссю еліпса до дотичної, кутовий коефіцієнт якої дорівнює ексцентриситету.
72. Вершина прямого кута трикутника лежить на прямій , а дві інші вершини містяться в точках (2, – 3) і
(4, 1). Обчислити площу трикутника.
73. Відрізок прямої є спільною хордою кола та іншого кола, центр якого лежить на осі абсцис. Знайти рівняння другого кола.
74. До кола, яке проходить через точки А(5, 7), В(2, – 2) і
С(– 1, 7), із точки D(7, 18) проведено дві дотичні. Визначити площу трикутника, утвореного цими дотичними та прямою, що сполучає точки дотику.
75. У точках перетину еліпса з прямою до нього проведено дві дотичні. Знайти відстань між точками перетину цих дотичних із віссю абсцис, а також відстані правого фокуса еліпса до цих дотичних.
76. Дано канонічний переріз . Знайти рівняння дотичних до цієї кривої, проведених із точки (5, 12), а також рівняння хорди, що сполучає точки дотику.
77. Через фокус параболи проведено пряму під кутом 60° до осі абсцис. У точках перетину цієї прямої з параболою до останньої проведено дотичні. Знайти відстань від точки перетину дотичних до зазначеної прямої і обчислити кут між дотичними.
78. Через дві точки А (1, 3) і В (2, 2) проведено коло із центром на прямій . Знайти відстань від центра цього кола до хорди АВ.
79. З точки перетину прямих і проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння дотичних і довжину відрізка прямої, що сполучає точки дотику.
80. До параболи проведено дотичні з точки, що лежить на її директрисі і має ординату, яка дорівнює 5. Визначити кут, утворений цими дотичними, і показати, що пряма, яка сполучає точки дотику, проходить через фокус параболи.
81. До еліпса проведено дотичні, кутовий коефіцієнт яких дорівнює ексцентриситету еліпса. Знайти відстань між дотичними.
82. Дано коло . Скласти рівняння його дотичної, проведеної паралельно прямій . Знайти точки перетину даного кола з осями координат (виконати відповідний рисунок).
83. З точки (– 4, 6) проведено дотичні до параболи . Визначити відстань від цієї точки до хорди, яка проходить через точки дотику.
84. У точках перетину А та В кола з прямою проведено дотичні. Визначити точку перетину дотичних і показати, що лінія, яка сполучає цю точку з центром даного коло, проходить через середину хорди АВ.
85. До еліпса проведено дві дотичні, паралельні прямій . Визначити відстань між ними і показати, що лінія, яка сполучає точки дотику, проходить через центр еліпса.
86. Через точку (– 4, 2) провести пряму на відстані від точки (7, – 1).
87. Відомо, що ексцентриситет еліпса дорівнює , а відстань між фокусами — 10. Визначити радіуси-вектори точки, абсциса якої додатна, а ордината дорівнює .
88. До еліпса, відстань між директрисами якого становить 18, а ексцентриситет дорівнює , проведено дотичну в його точці
(– 1, ). Знайти довжини перпендикулярів, проведених з фокусів еліпса до цієї дотичної.
89. З точки (1, 2) проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння хорди, що сполучає точки дотику, і рівняння кола, побудованого на цій хорді як на діаметрі.
90. З точки А (3, 4) проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння кола, яке проходить через точку А та точки дотику.
91. Знайти до еліпса дотичну, щодо якої виконується умова: різниця довжин перпендикулярів, проведених до неї з фокусів, дорівнює половині відстані між фокусами.
92. Знайти відстань між дотичними до еліпса , паралельними прямій .
93. Дано еліпс . Знайти його дотичні, паралельні прямій, яка сполучає точки перетину кіл і .
94. Дано координати вершин трикутника А(1, 2), В(– 1, 1) і
С(–2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.
95. Дано два кола, заданих рівняннями і . Знайти площу чотирикутника, вершинами якого є центр цих кіл і точки їх перетину. Записати рівняння спільної хорди зазначених кіл і довести, що вона перпендикулярна до лінії центрів.
96. Дано два кола, рівняння яких і . До першого з них у точці перетину цих кіл проведено дотичні. Знайти відстань від точки перетину цих дотичних до спільної хорди кіл.
Поверхні другого порядку
1.Обчислити визначник , де а, b і с — косинуси кутів, утворених прямою з осями прямокутної системи координат.
2. Скориставшись теорією проекцій, обчислити кут між протилежними ребрами правильного тетраедра.
3. У паралелепіпеді, усі ребра якого дорівнюють 1, дано кути = 60°, = 120° і = 120°. Визначити довжину діагоналі АD та її кут зі стороною ОС (див. рисунок).
4. Знайти відстань між точками
М1(2, 1, 2) і М2(1, 2, 1) у прямокутній системі координат
5. Знайти відстань між точками
М1(1, 1, 2) і М2(2, 1, 1), якщо дано кути між осями координат: = 60°, = = 90°.
6. Знайти косинус кута між прямими, розміщеними в площинах, які поділяють відповідно кути ÐxOy і ÐzOx пополам. Осі координат прямокутні.
7. Знайти об’єм паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1, 1 і 2, а плоскі кути, що утворюють деякий тригранний кут, становлять 120°, 150° і 60°.
8. Знайти косинуси кутів між діагоналями куба, напрямленими так, що проекції їх на деяке ребро збігаються.
9. Знайти косинуси кутів, утворених діагоналями прямокутного паралелепіпеда OAEDCBGF зі сторонами ОD, ОА і ОС завдовжки відповідно 1, 2 і 3, якщо діагоналі й сторони напрямлені так, як зображено на рис. 3.70.
10. Знайти кути між діагоналями паралелепіпеда, заданого умовою попередньої задачі.
11. На відрізку прямої, що сполучає точки М1(1, 2, – 1) і М2(– 1, 2, 1), знайти точку М, яка лежить між точками М1 і М2, причому .
12. Знайти точку М на прямій, яка сполучає точки М1(1, 2, – 1) і М2(–1, 2, 1), що не лежить між точками М1 і М2, коли .
13. Дано тетраедр, ребро якого дорівнює 1. Узявши за координатні осі ребра цього тетраедра, що виходять з однієї вершини, знайти координати середин його ребер і проекцій вершин на протилежні грані.
14. Знайти точки А, В, С на трьох координатних площинах так, щоб трикутна піраміда тетраедр ОАВС (О початок координат) була правильною з довжиною ребра l.
15. Косинуси кутів між старими і новими осями прямокутної системи координат наведено в таблиці. Початок координат нової системи міститься в точці (1, 2, 3). Скласти формули переходу від старих координат до нових.
| Старі координати | Нові координати | ||
| Х1 | Y1 | Z1 | |
| X | |||
| Y | |||
| Z |
16. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точок М0(х0, у0, z0) і М1(х1, у1, z1) у прямокутній системі координат.
17. Записати рівняння сфери із центром у точці (2, 1, 0) і радіусом, що дорівнює 2.
18. Знайти координати центра та радіус кулі .
19. Якими кривими є лінії перетину циліндрів і ?
20. Знайти точки перетину поверхонь:
а) , , ;
б) , , .
21. Знайти площину, що ділить пополам кут між площинами , і лежить у тому ж куті між ними, в якому початок координат.
Площина
22. Узявши ребра тетраедра за координатні осі, знайти рівняння площин, кожна з яких проходить через ребро і середину протилежного ребра. Довести, що ці шість площин перетинаються.
23. Знайти рівняння площини, що проходить через точки
а) М1(2, 1, 1), М2(–1, 2, 1) і М3(2, 2, 1);
б) М1(1, 1, –3), М2(2, 0, – 3), М3(1, –1, –1).
24. Знайти рівняння ребер тетраедра з вершинами в точках М1(1, 1, 1), М2(–1, 1, 1), М3(1, –1, 1) і М4(1, 1, –1).
25. Знайти площину, що утворює на осях відрізки завдовжки 2, 3 і 4.
26. Знайти відрізки на осях, що визначають площину .
27. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку
М(1, 2, – 1) і утворює на осях Ох і Oz відрізки, що дорівнюють відповідно 2 і 1.
28. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М(1, 2, 1) і утворює на осях Ох і Оy відрізки, які дорівнюють відповідно 2 і – 3.
29. Знайти косинуси лінійних кутів тих двогранних, які утворені площиною з координатними площинами, та косинуси кутів зазначеної площини і з осями координат.
30. Знайти кути, утворені перпендикуляром до площини з осями координат.
31. Через точку М(1, – 1, 1) провести площину перпендикулярно до прямої , .
32. Через точки М(1, 1, 1) і М1((2, 2, 2) провести площини перпендикулярно до площини .
33. Через точки М(2, 0, 0) і М1(0, 2, 0) провести площини під кутом 45° до площини .
34. З’ясувати, як розміщені точки М1(2, 1, 1), М2(2, 1, 3) — по один бік від площини або по різні її боки.
35. Визначити, чи лежить початок координат всередині тетраедра, заданого площинами , , , .
36. Знайти об’єм тетраедра, заданого умовами попередньої задачі.
37. Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках М1(1, 1, 1), М2(– 1, 1, 1), М3(1, – 1, 1), М4(1, 1, –1).
38. Знайти відстань від точки М(2, 1, 1) до площини .
39. Знайти відстань від точки М( –1, 2, 1) до площини .
40. Знайти відстань від точки М(х0, у0, z0) до площини , знаючи, що це точка, відокремлена від початку координат даною площиною.
41. Знайти відстань між паралельними площинами , .
42. Знайти відстань між паралельними площинами , .
43. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від площин і .
44. Знайти площину, рівновіддалену від двох паралельних площин , .
45. На лінії перетину площин , знайти точку, рівновіддалену від паралельних площин , .
46. Знайти об’єм тетраедра , , , .
47. Через точку перетину площин , , провести площини паралельно площині , не знаходячи зазначеної точки.
48. Знайти рівняння сфери з центром у точці (3, – 2, 30), коли відоме рівняння дотичної площини .
49. Знайти площу трикутника, вершини якого М(1, –1, 1), М1(2, 1, – 1) і М2(– 1, – 1, – 2).
50. Знайти площу трикутника, вершини якого М1(1, – 1, 2), М2(– 1, 2, 1), М3(–1, 1, 1).
51. Відомо, що площини , , перпендикулярні до однієї площини. Знайти l за умовою, що площини перетинаються по прямій.
52. Знайти точку перетину площин , , .
53. Через точку (1, 4, 1) провести площину, дотичну до парабол у = 0, і , .
54. Знайти площини, які проектують прямі і на площини координат.
55. Знайти площини, які проектують пряму , на площини координат. Подати рівняння прямої у вигляді пропорції.
56. Подати у канонічному вигляді рівняння прямих:
57. Знайти кути, утворені прямими
і
з осями координат і між собою.
58. Знайти кут між прямими
і
59. Знайти кут між прямими
і
60. Знайти кут j між прямою , і площиною .
61. Провести пряму через точки М1(2, 1, 2), М2(1, 2, 1).
62. Провести пряму через точки М1(3, 0, 1), М2(– 1, 2, 2).
63. Провести пряму через точки: 1) М(2, 1, 3), М1(1, 1, 2);
2) М(1, 2, 1), М1(1, 2, 3).
64. Провести пряму через точки: 1) М(1, 2, 1), М1(1, 3, 2);
2) М(2, 1, 1), М1(3, 1, 1).
65. Через точку М(1, 2, 1) провести пряму, перпендикулярну до площини .
66. Через точку М(– 1, 1, 2) провести пряму, перпендикулярну до площини .
67. Через точку М(1, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямих:
1) ; 2)
68. Через точку М(2, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямої , .
69. Через точку М(2, 1, 1) провести прямі, паралельні прямим
,
70. Через точку М(1, 2, 1) провести прямі, паралельні прямим
71. Через точку М(–1, 2, 1) провести пряму, паралельну площинам , .
72. Через точку М(2, 1, 1) провести пряму, паралельну прямій , .
73. Через точку М(1, 1, 2) провести площину, паралельну прямим , .
74. Через точку М(1, 2, 1) провести площину, паралельну прямим
75. Через точку М(2, 1, 1) провести площину, паралельну прямим
.
76. Через пряму , і точку
М(2, 1, 1) провести площину.
77. Через пряму , і точку М(1, 1, 2) провести площину.
78. Через пряму , провести площину, перпендикулярну до площини .
79. Через пряму провести площину, перпендикулярну до площини .
80. Через пряму провести площину, паралельну прямій , .
81. Провести площину через точки М1(2, 1, 1), М2(– 1, 2, 2), М3(4, 3, – 1).
82. Знайти рівняння проекції прямої , на площину .
83. Знайти точку перетину прямої з площиною .
84. Знайти проекцію точки М(2, 1, 1) на пряму .
85. Знайти проекцію точки М(– 1, 2, 0) на площину .
86. Визначити l у рівнянні прямої так, щоб ця пряма перетинала пряму .
87. Знайти прямі, що належать площині та перпендикулярні до прямої яка лежить у тій самій площині.
88. Через точку перетину площини з прямою провести пряму, що лежить у цій площині й перпендикулярна до даної прямої.
89. Знайти рівняння та довжину перпендикуляра, опущеного з точки М(0, –1, 1) на пряму , .
90. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих
і
91. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих
х = 0, у = z і z = 0, x + y –1 = 0.
92. Знайти найкоротшу відстань між прямими
та .
93. Знайти найкоротшу відстань між прямими
та
94. Знайти найкоротшу відстань між прямими , та рівняння їх спільного перпендикуляра.
95. Записати рівняння проекцій перпендикуляра з точки М(2, 1, 1) на площину , на площини хy, xz, yz.
96. Через точку М(1, – 1, 1) провести пряму так, щоб середина її відрізка між площинами і лежала на прямій .
97. Знайти рівняння площини, в якій лежать прямі та .
98. Переконавшись, що прямі
та
перетинаються, знайти площину, в якій вони лежать.
99. Знайти прямі, що перетинають прямі
та
і паралельні площині х + y + z = 0.
100. Знайти прямі, які перетинають прямі
та та
101. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих і .
102. Знайти рівняння геометричного місця прямих, що проходять через точку М і перпендикулярні до прямої .
103. Знайти прямі, які перетинають прямі
а також їх геометричне місце.
104. Знайти геометричне місце прямих, які проходять через вісь Ох і паралельні прямій .
105. Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є початком координат, а напрямна задана рівнянням і .
106. Знайти загальне рівняння поверхонь другого порядку, які перетинаються площиною xOy по кривій .
107. Знайти рівняння поверхні другого порядку, на якій лежать кола .
108. Показати, що рівняння задовольняють лише такі точки, що лежать на прямій , .
109. Показати, що рівняння задовольняють лише координати точки
М(– 1, 1, 1).
110. Скласти рівняння другого порядку, які задовольняють лише координати точки М(2, 1, 1).
111. Знайти прямі, по яких поверхня конуса перетинається площиною .
112. Знайти твірні поверхні , які проходять через точку (1, 1, 1).
113. Знайти прямі, паралельні твірним поверхонь і .
114. Знайти центр поверхні . Перетворити рівняння, перенісши початок координат у знайдений центр.
Спростити рівняння поверхонь та записати відповідні формули перетворення координатних осей.
115. .
116. .
117. .
118. .
119. .
120. .
121. .
122. .
123. .
124. .
125. .
126. .
127. .
128. .
129. .
130. .
131. .
132. .
Спростити рівняння поверхонь:
133. .
134. .
135. .
136. Через пряму провести площину, яка перетинає поверхню по рівнобічній гіперболі.
137. Через точку (a, b, g) провести площину, що перетинає еліпсоїд по еліпсу, з центром у тій самій точці.
138. Знайти координати вершини параболи, утвореної в результаті перетину циліндра площиною .