Аппроксимация и интерполяция функций

Пусть имеется набор узловых точек x_k (где k=1,2,…,n) и значения функции y(x_k)в этих точках, а также некоторая функция f(x,a₁, a₂, …,a_m), которая кроме аргумента х зависит еще и от параметров a_s(где s=1, 2, …m). Задача аппроксимации состоит в том, чтобы подобрать такие значения параметров a_s, что функция f(x, a₁, a₂, …a_m)наилучшим образом описывала бы исходную функцию. Как правило, m<<n, поэтому добиться, чтобы функция f(x, a₁, a₂, …a_m) давала точные результаты даже в узловых точках не удастся. Нужен критерий, который оценивает точность аппроксимации таблично заданной функции. Например, в методе наименьших квадратов в качестве такого критерия используется среднеквадратическое отклонение

.

Частным случаем задачи аппроксимации является задача интерполяции функции. В этом случае также имеем набор узловых точек x_k (где k=1,2,…,n) и значения функции y_k в этих точках. Однако, в соответствии с критерием интерполяции, требуется построить такую функцию f(x),которая в узловых точках x₁, x₂,…,x_nпринимала бы значения y₁, y₂, …,y_n, то есть f(x_k) = y_kдля всех kот 1до n.Чаще всего функцию f(x) ищут в виде полинома, степень которого n-1. Поэтому задача сводится к определению коэффициентов интерполяционного полинома на основании значений функции в базовых точках.

На практике для решения задачи интерполяции (вычисления значений функции в точках, несовпадающих с узлами интерполяции) используются интерполяционные формулы Ньютона и формула Лагранжа [1].

Для выполнения полиномиальной аппроксимации в MatLab используется функция polyfit(). Эта функция предназначена для выполнения аппроксимации методом наименьших квадратов. Функция polyfit(x,y,n)возвращает вектор коэффициентов полинома степени n, который с наименьшей среднеквадратичной погрешностью аппроксимирует функцию, заданную таблично. Результатом является вектор ­строка длиной n+1, содержащий коэффициенты полинома в порядке уменьшения степеней. Аргументами функции являются список узловых точек, список значений интерполируемой функции в этих точках и степень интерполяционного полинома. Как правило, степень полинома много меньше количества узлов (m<<n). В качестве результата возвращается список коэффициентов аппроксимирующего полинома.

Ниже приведены пример линейной и кубической аппроксимации функции, заданной таблицей (рис. 2.2.1-1), и графики аппроксимирующих функций (рис. 2.2.1-2).

Рис. 2.2.1-1. Пример линейной и кубической аппроксимации функции

Рис. 2.2.1-2. Графики исходной и аппроксимирующих функций

Чтобы результатом выполнения функции Matlabpolyfit() был именно интерполяционный полином, необходимо, чтобы степень этого полинома была на единицу меньше количества узловых точек.

Пример 2.2.1-1. Используя в качестве узлов интерполяции
x=-5,-4…5, построить полином, интерполирующий функцию .

Выполняя команды Matlab в окне Command Window, получим таблицу значений функции и проведем ее интерполяцию с использованием функции Matlab polyfit() (рис. 2.2.1-3). Графики интерполяционных узлов и интерполяционного полинома приведены на рис. 2.2.1-4.Здесь для вычисления значений полинома в точках используется функция polival(p,z), где вектор z покрывает интервал интерполяции и даже выходит за его пределы.

Рис. 2.2.1-3. Интерполяция таблично заданной функции

с использованием функции Matlab polyfit()

Рис. 2.2.1-4. Графики интерполируемой и интерполирующей функций

При большом количестве базовых точек интерполяция полиномом может оказаться малопродуктивной, поэтому нередко используют интерполяцию сплайнами. Идея сплайн-интерполяции состоит в разбиении диапазона интерполирования на отрезки, в пределах которых используются разные функции одного вида (чаще всего алгебраические многочлены). Эта функция и ее несколько производных на всем диапазоне интерполяции непрерывны. В результате имеем кусочно-гладкую интерполяционную зависимость.

Сплайн-интерполяцию можно реализовать с помощью функции Matlabinterp1(). В качестве аргументов функции передают: набор узловых точек аргумента, значения функции в этих точках, список значений точек, для которых вычисляется значения интерполяционной зависимости и, наконец (в апострофах), тип базового полинома (табл. 2.2.1-1).

Таблица 2.2.1-1

Имя функции	Описание
nearest()	Интерполяция полиномами нулевой степени – график имеет ступенчатый вид
linear()	Интерполяция полиномами первой степени – базовые точки соединяются отрезками прямой
spline()	Интерполяция полиномами третьей степени

Рассмотрим пример использования функцииMatlab interp1().