Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости

ПЗ№4.Составить уравнения всех сторон треугольника АВС, где А(3,2), В(5,-2) и С(5,2). Найти их длины.

5) Через точки А(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить растояние от точки С до прямой АВ.

6) Привести к каноническому виду уравнение кривой Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости - student2.ru . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-1,2,1) и

а) имеющий направляющий вектор Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости - student2.ru ;

b) перпендикулярной плоскости 3x-y-2z+1=0;

с) проходящей через точку М0 и М1(3,2,4).

1. Расстояние d между двумя точками М11) и М22) координатной оси находится по формуле:

d = │х2 – х1│.

2. Расстояние d между двумя точками М111) и М222) плоскости находится по формуле:

d = √(х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 .

3. Расстояние d между двумя точками М111,z1) и М2 22,z2) пространства находится по формуле:

d = √(х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 + (z2 – z1)2 .

4. Координаты (х,у) точки М, делящей отрезок с концами М111) и М222) в отношении λ, т.е. │М1М│: │ММ2│= λ , находится по формуле:

х1+λх2

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

1 + λ

у1+λу2

у = ――― .

1 + λ

5. Координаты (х,у) точки М – середины отрезка с концами М11у1) и М222) находятся по формуле:

х12

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

у12

у = ――― .

6. Уравнение прямой:

- с угловым коэффициентом к и начальной ординатой b:

у = кх +b;

- проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом к) через данную точку М (х0, у0):

у – у1 = к (х1 - х1);

- проходящей через две данные точки М111) и М222):

у – у1 х – х1

―― = ――

у2 –у1 х2 – х1

у2 – у1

( с угловым коэффициентом к = ――― );

х2 – х1

- в отрезках:

х у

― + ― = 1

а b

(а и b – соответственно отрезки, отсекаемые на осях Ох и Оу);

- общее:

Ах + Ву +С = 0.

7. Расстояние d от точки А (х00) до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле:

│Ах0 + Ву0 + С│

d = ――――――― .

√ А2 + В2

8. Две прямые (1) и (2) заданы уравнениями у = к1х +b1 и у = к2х +b2 или А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0.

Угол φ между прямыми находится из соотношения:

к1 – к2

tg φ = ―――

1+к1к2

или

± (А1А2 + В1В2)

соs φ = ―――――――

√А1212 √А2222

Условие параллельности прямых:

А1 В1

к1 = к2 или ― = ― ;

А2 В2

Условие перпендикулярности прямых:

к2 = - ― или А1А2 + В1В2 = 0

к1

Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:

у = к1х +b1, А1х + В1у + С1 = 0,

или

у = к2х +b2, А2х + В2у + С2 = 0.

Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка:

Ах2+Вху+Су2+Еу+F=0

2. нормальное уравнение окружности радиуса Rс центром в точках С (х00) и О (0,0) соответсвенно имеют вид:

(х-х0)2+(у-у0)2=R2

X2+y2 =R2

3. Каноническое уравнение эллипса:

х2/a2+y2/b2=1

а,b-оси эллипса: b2=a2-c2, F1(c;0) иF2(c;0)-фокусы эллипса.

Эксцентриситет эллипса ε=с/а

Расстояние точки М(х,у) эллипса до его фокусов:

r1=a-εx, r2=a+ εx.

4. Каноническое уравнение гиперболы

х2/a2-y2/b2=1

Расстояние точки М(х,у) гиперболы до фокусов:

r1=│a-εx│, r2=│a+ εx│

Уравнение обеих асимптот гиперболы у=±b/a x

5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:

У2=2рх

Расстояние от фокуса параболы F(p/2;0) до оси Ох(фокальный радиус):

R=x+p/2.

Уравнение диссектрисы параболы:

х=-р/2

6. Квадратный трехчлен у= Ах2 +Вх+С есть парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу, и вершиной в точке (-В/2А,-D/4A), где D=В2 – 4АС—дискриминант.

Наши рекомендации