Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости

ПЗ№4.Составить уравнения всех сторон треугольника АВС, где А(3,2), В(5,-2) и С(5,2). Найти их длины.

5) Через точки А(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить растояние от точки С до прямой АВ.

6) Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-1,2,1) и

а) имеющий направляющий вектор ;

b) перпендикулярной плоскости 3x-y-2z+1=0;

с) проходящей через точку М₀ и М₁(3,2,4).

1. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁) и М₂(х₂) координатной оси находится по формуле:

d = │х₂ – х₁│.

2. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) плоскости находится по формуле:

d = √(х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² .

3. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂ (х₂,у₂,z₂) пространства находится по формуле:

d = √(х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)² .

4. Координаты (х,у) точки М, делящей отрезок с концами М₁ (х₁,у₁) и М₂ (х₂,у₂) в отношении λ, т.е. │М₁М│: │ММ₂│= λ , находится по формуле:

х₁+λх₂

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

1 + λ

у₁+λу₂

у = ――― .

1 + λ

5. Координаты (х,у) точки М – середины отрезка с концами М₁ (х₁у₁) и М₂ (х₂,у₂) находятся по формуле:

х₁+х₂

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

у₁+у₂

у = ――― .

6. Уравнение прямой:

- с угловым коэффициентом к и начальной ординатой b:

у = кх +b;

- проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом к) через данную точку М (х₀, у₀):

у – у₁ = к (х₁ - х₁);

- проходящей через две данные точки М₁ (х₁,у₁) и М₂ (х₂,у₂):

у – у₁ х – х₁

―― = ――

у₂ –у₁ х₂ – х₁

у₂ – у₁

( с угловым коэффициентом к = ――― );

х₂ – х₁

- в отрезках:

х у

― + ― = 1

а b

(а и b – соответственно отрезки, отсекаемые на осях Ох и Оу);

- общее:

Ах + Ву +С = 0.

7. Расстояние d от точки А (х₀,у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле:

│Ах₀ + Ву₀ + С│

d = ――――――― .

√ А² + В²

8. Две прямые (1) и (2) заданы уравнениями у = к₁х +b₁ и у = к₂х +b₂ или А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Угол φ между прямыми находится из соотношения:

←

к₁ – к₂

tg φ = ―――

1+к₁к₂

или

± (А₁А₂ + В₁В₂)

соs φ = ―――――――

√А₁²+В₁² √А₂²+В₂²

Условие параллельности прямых:

А₁ В₁

к₁ = к₂ или ― = ― ;

А₂ В₂

Условие перпендикулярности прямых:

к₂ = - ― или А₁А₂ + В₁В₂ = 0

к₁

Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:

у = к₁х +b₁, А₁х + В₁у + С₁ = 0,

или

у = к₂х +b_2, А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка:

Ах²+Вху+Су²+Еу+F=0

2. нормальное уравнение окружности радиуса Rс центром в точках С (х₀,у₀) и О (0,0) соответсвенно имеют вид:

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²

X²+y² =R²

3. Каноническое уравнение эллипса:

х²/a²+y²/b²=1

а,b-оси эллипса: b²=a²-c², F₁(c;0) иF₂(c;0)-фокусы эллипса.

Эксцентриситет эллипса ε=с/а

Расстояние точки М(х,у) эллипса до его фокусов:

r₁=a-εx, r₂=a+ εx.

4. Каноническое уравнение гиперболы

х²/a²-y²/b²=1

Расстояние точки М(х,у) гиперболы до фокусов:

r₁=│a-εx│, r₂=│a+ εx│

Уравнение обеих асимптот гиперболы у=±b/a x

5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:

У²=2рх

Расстояние от фокуса параболы F(p/2;0) до оси Ох(фокальный радиус):

R=x+p/2.

Уравнение диссектрисы параболы:

х=-р/2

6. Квадратный трехчлен у= Ах² +Вх+С есть парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу, и вершиной в точке (-В/2А,-D/4A), где D=В² – 4АС—дискриминант.