Аппроксимация экспериментальных данных

(одна независимая переменная)

Краткая справка. Аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы j(х) для установленной из опыта функциональной зависимости y=f(x). Возможны следующие варианты аппроксимирующих функций (см. рис.1):

Рис.1

1) Линейная – y=ax+b. Применяется, когда опытные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

2) Полиномиальная – y=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ. Используется для данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов кривой. (полином 2-й степени может описать один экстремум).

3) Логарифмическая – y=alnx+b. Применяется для данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

4) Степенная – y=bx^a . Применяется, когда опытные данные возрастают или убывают с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

5) Экспоненциальная – y=bе^ax (е — основание натурального логарифма). Используется для данных, которые вначале относительно стабильны, а затем быстро растут или убывают.

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R²). Чем ближе этот коэффициент к 1, тем лучше подобрана аппроксимирующая функция.

Задание.

Дано (по вариантам) количество вложенных в производство средств (х) и полученная в результате соответствующая прибыль (у). Найти аналитическую зависимость между х и у. Какова будет прибыль, если вложить z единиц средств? Сколько надо вложить средств, чтобы получить прибыль р единиц?

1-й вариант:

х 2,1 2,5 3,4 4,5 6 7

у 8,5 8,9 11 12,5 13,4 15

z=8,5 р=16

2-й вариант:

х 3,4 4,1 4,9 5,2 7,1 9,6

у 2,5 4,3 5,5 6,8 10,3 14

z=12 р=17

3-й вариант:

х 5,5 7,5 8,1 9,3 11,2 16,4

у 6,5 8,3 10,1 12,5 15,2 19,4

z=17,5 р=21

4-й вариант:

х 1,2 4,2 6,1 9,3 10,3 12,5

у 4,3 5,1 7,4 12,4 14,3 18,7

z=14 р=25

5-й вариант:

х 1,2 3,6 7,3 9 13,8 14,2

у 3,5 4,8 8,4 9,1 18,1 20,3

z=16 р=30

6-й вариант:

х 10,1 13,3 17,3 18,8 23,8 24,9

у 3,5 4,2 8,2 9,1 17,9 20,5

z=30 р=40

7-й вариант:

х 7,3 9,2 12,6 14 15,3 17,2

у 1,9 3,5 7,9 16,4 17,7 21,2

z=20 р=44

8-й вариант:

х 1,3 2,5 3,6 7,1 9,2 10,6

у 0,6 5,3 10,1 16,3 18,1 20,8

z=12 р=25

9-й вариант:

х 1,3 2,5 3,3 6,1 7,5 8,6

у 1 2,1 4 8,8 22,5 35,4

z=10 р=50

10-й вариант:

х 1 2,2 4,3 5,3 7,1 9,1

у 2,4 3,7 9,4 12,3 18,8 25

z=11 р=40

11-й вариант:

х 2,1 2,7 3,4 4,8 6 7,1

у 8,6 8,9 11,1 12,5 13,4 15

z=8 р=16

12-й вариант:

х 3,3 4,1 4,9 5,4 7,1 9,6

у 2,5 4,5 5,5 6,8 10,5 14

z=15 р=17

13-й вариант:

х 5,7 7,5 8,5 9,3 11,2 16,5

у 6,5 8,2 10,5 12,5 15,2 19,4

z=18 р=25

14-й вариант:

х 0,8 4,4 6,1 9,6 10,3 12,8

у 4,3 5,5 7,4 12,5 14,3 18,8

z=14 р=35

15-й вариант:

х 1,6 3,6 7,5 9 13,9 14,2

у 3,5 4,9 8,4 9,2 18,1 20,5

z=20 р=30

16-й вариант:

х 10 13,3 17,5 18,8 23,8 24,9

у 3,5 4,4 8,2 9,5 17,9 20,5

z=30 р=45

17-й вариант:

х 7,3 9,5 12,6 14 15,5 17,2

у 1,9 3,6 7,9 16 17,7 21,2

z=25 р=44

18-й вариант:

х 1,3 2,7 3,6 7,4 9,2 10,9

у 0,5 5,3 10,1 16,5 18,1 20,8

z=12 р=35

19-й вариант:

х 1,3 2,7 3,3 6,2 7,5 8,9

у 1 2,1 4,1 8,8 22 35,4

z=15 р=50

20-й вариант:

х 1 2,3 4,3 5,5 7,1 9,1

у 2,4 3,7 9,4 12 18,8 25,2

z=11 р=45

21-й вариант:

х 2,1 2,2 3,4 4,5 6,1 7

у 8,5 8,3 11 12,5 13,5 15,8

z=10 р=16

22-й вариант:

х 3,4 4 4,9 5,2 7,9 9,6

у 2,5 4,4 5,5 6,6 10,3 14

z=15 р=20

23-й вариант:

х 5,5 7,7 8,1 9,3 12,2 16,4

у 6,5 8,3 10 12,5 15,5 19,4

z=20 р=25

24-й вариант:

х 1,2 4,4 6,1 9,9 10,3 12,2

у 4,3 5,1 7,4 12,5 14,3 18

z=15 р=35

25-й вариант:

х 1,1 3,6 7,7 9 13,9 14,2

у 3,5 4,8 8,4 9,1 18 20

z=20 р=20

26-й вариант:

х 10,2 13,3 17,7 18,8 23,8 24,9

у 3,3 4,2 8,8 9,1 17,9 20,5

z=30 р=30

27-й вариант:

х 7,3 9,9 12,6 14,4 15,3 17,7

у 1,9 3,5 7,9 16,4 17,7 21,2

z=25 р=45

28-й вариант:

х 1,5 2,5 3,6 7,7 9,2 10,9

у 0,9 5,3 10,1 16,3 18 20,3

z=15 р=30

29-й вариант:

х 1,5 2,5 3,3 6,6 7,5 8,6

у 1 2,1 4,4 8,8 22,2 35,4

z=15 р=55

30-й вариант:

х 1,1 2,2 4,3 5,5 7,1 9,5

у 2,5 3,7 9,5 12,5 18 26

z=15 р=40

Методика выполнения работы.

Задание. Исследовать характер изменения с течением времени уровня производства некоторой продукции и подобрать аппроксимирующую функцию, располагая следующими данными:

вложенные средства x 10 11 12 13 14

производство продукции y 17,1 18,0 18,9 19,7 19,7

Найти аналитическую зависимость между x и y. Каково будет производство продукции, если вложить 15,0 единиц? Сколько вкладывали средств, когда производство было на уровне 16 единиц?

Решение.

1. Занесём исходные данные (обозначения и числа) в ячейки с А1 по G2.

2. Для построения экспериментального графика выделим ячейки с числами, вызовем Мастер диаграмм и выберем тип диаграммы — Точечная (со значениями, соединёнными сглаживающими линиями). На 3-м шаге на вкладке Легенда выберем расположение легенды – вверху. После нажатия кнопки Готово будет получен график экспериментальных данных. Щёлкнем правой кнопкой мыши по любому числу в подписи оси Х и выберем Формат оси, где на вкладке Шкала зададим минимальное значение – 8, максимальное значение –16.

3. Для осуществления аппроксимации полученной кривой щёлкнем правой кнопкой мыши на одной из точек графика. В появившемся контекстном меню выберем пункт Добавить линию тренда. Появляется диалоговое окно Линия тренда

4. Осуществим аппроксимацию полученной кривой полиномиальной функцией второго порядка, поскольку кривая довольно гладкая и не сильно отличается от прямой линии. На вкладке Тип выберем тип линии тренда — Полиномиальная и устанавливаем степень – 2. На вкладке Параметры устанавливаем флажки показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Для осуществления прогноза производства продукции при 15,0 единицах средств в поле Прогноз вперёд на установите 1,0 единицу. Щёлкните ОК. В результате на диаграмме будет получена аппроксимирующая кривая. Уравнение кривой y=-0,1357х²+3,947х-8,8714. Точность аппроксимации очень высока, т.к. R²=0,9864.

5. Попробуем улучшить качество аппроксимации выбором другого типа функции. Для этого повторяем п.4 за исключением того, что в окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем тип линии тренда – Логарифмическая. В результате получим другой вариант аппроксимации, где точность аппроксимации R²=0,9716, что несколько меньше, чем в первом случае. Поэтому можно считать, что наилучшей аппроксимацией является аппроксимация полиномиальной функцией второй степени (из двух вариантов). Для убедительности можно попробовать выбрать другие типы линий тренда.

6. Проанализируем полученные результаты. Посмотрим на графике, если вложить 15 единиц (ось х), то производство составит около 19,8 средств (ось у). Более точные числа можно получить из найденного уравнения, подставив в него значения х. Занесём в Н1 значение 15, в Н2 формулу

=-0,1357*А9^2+3,947*A9-8,8714. В ячейке Н2 получим, что производство продукции составит 19,8026.

7. Чтобы узнать, сколько надо вложить средств, когда производство было на уровне 16 единиц, скопируем ячейки Н1:Н2 вправо в I1:I2. В ячейку I1 введём, например, 1 и сделаем текущей ячейку I2. Щёлкнем Сервис — Подбор параметра. В поле Значение введём 16, в поле Изменяя ячейки щёлкнем по ячейке I2, ОК. В ячейке I2 получим ответ — было вложено ≈ 9,23 единицы.