Модели случайных процессов

Для анализа свойств и характеристик случайного процесса, а также различных его преобразований необходимо задать математическую модель случайного процесса. Такая модель может представлять собой описание возможных реализаций случайного процесса в сочетании с указанием относительной частоты их появления. Приведем несколько примеров моделей случайных процессов, задаваемых таким образом.

X₁ (t)

t₁ t₂ t

x₂(t)

t₁ t₂ t

x₃(t)

t₁ t₂ t

Рисунок 6.1-Реализации случайных процессов

Гармонический сигнал со случайной начальной фазой

Во многих практических задачах используется модель случайного процесса, реализации которого представляют собой гармонические колебания с известными (детерминированными) амплитудой и частотой, но случайной начальной фазой. Таким образом, реализация рассматриваемого случайного процесса может быть записана как

где А – амплитуда (детерминированная), ω₀ – частота (детерминированная) и φ – случайная начальная фаза, которая в большинстве практически интересных случаев может считаться равномерно распределенной на интервале 0…2π, то есть имеющей следующую плотность вероятности:

Графики нескольких реализаций данного случайного процесса, представляющие собой синусоиды, смещённые друг относительно друга по временной оси, показаны на рисунке 6.2.

x(t)

0 t

Рисунок 6.2- Реализация гармонического сигнала со случайной начальной фазой

Как видите, конкретный вид реализации процесса в данном случае определяется значением всего лишь одной случайной величины – начальной фазы.

Случайный телеграфный сигнал. Таким сигналом назван случайный процесс, реализации которого принимают значения +1 и -1, причем перепады уровня происходят в случайные моменты времени и число N перепадов уровня, происходящих за время τ, является случайной величиной с дискретным распределением вероятности, описываемым законом Пуассона:

(6.1)

Здесь λ – неотрицательный параметр, определяющий среднюю частоту возникновения перепадов уровня.

Скачки уровня происходят в случайные моменты времени t_k, поэтому аналитически записать формулу для отдельной реализации данного случайного процесса оказывается весьма затруднительно, а изобразить ее график можно лишь условно рисунок 6.3.

x(t)

t

-1

Рисунок 6.3-Реализация случайного телеграфного сигнала

В данном случае конкретная реализация задается бесконечным множеством случайных величин – моментов перепадов уровня t_k, а характеристики случайного процесса определяются статистическими свойствами этих случайных величин.

Итак, полное описание случайного процесса дает его ансамбль реализаций. Однако для решения практических задач часто достаточно более простых характеристик, выражающихся в виде числовых параметров и детерминированных функций. Об этом пойдёт речь далее.