Бесконечно большие функции и их свойства
Определение. Функция y=F(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x® a, если
.
Это обозначается символом , хотя предел этой функций при
не существует.
Пример. Функция является б.б. функцией при
, так как
.
Очевидно, что любая б.б. функция не ограничена в окрестности точки .
Если и в некоторой окрестности точки а функция
(соответственно
), то еще пишут
(соответственно
).
Отметим следующие свойства б.б. функций.
1) Сумма двух б.б. одного знака при является б.б. при
.
2) Сумма б.б. функции при и ограниченной в окрестности точки а функции является б.б. при
.
Пример. ,так как х- есть б. б. при
, а
б. м., следовательно, ограниченная функция при
.
3) Если б. б. при
, а
в некоторой окрестности точкиа, то функция
является б. б. при
. В частности, произведение двух б. б. и произведение б. б. на функцию, имеющую ненулевой предел, является б. б.
Пример. , так как х – б.б. и
.
4) Если б. б. при
, то
б.м. при
.
5) Если б.м. при
и
при
то
является б.б. при
.
Пример: , так как
б. б. одного знака при
.
3.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
Определение. Бесконечно малая называется б.м. высшего порядка малости по сравнению с б.м.
при
в случае, если найдётся б.м.
при
такая, что
. Соответствующее обозначение
.
Пример: При , так как
и
есть б.м. при
.
При :
Определение. Бесконечно малые при
называются эквивалентными, если
. Обозначение
~
. Подобное определение даётся и для б.б. функции.
Пример. Б.м. эквивалентны при
, это следует из первого замечательного предела.
Это отношение эквивалентности удовлетворяет трём свойствам
1) ~
;
2) ~
~
;
3) Если ~
и
~
, то
~
.
Теорема. Из ~
следует, что
.
Теорема. Пусть есть б. м. при
, тогда:
1) ;
2) ~
;
3) ~
;
4) ~
;
5) ~
;
6) ~
,
;
7) ~
.
Эти эквивалентные б.м. позволяют более просто вычислять некоторые пределы с помощью следующей теоремы.
Теорема. Пусть ~
при
, тогда
.
При этом оба записанных предела существуют одновременно. Если одно из выражений б. б., то другое также является б. б.
Пример. ,
так как ~
~
~
~
.
Непрерывность функции
Определение. Функция называется непрерывной в точке
, если выполняются три условия:
1) существует ;
2) существует ;
3) .
В символической форме это определение записывается так:
.
Функция называется непрерывной в точке
слева (справа), если выполняются три условия:
1) ;
2) .
Очевидно, что функция является непрерывной в точке в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.
График непрерывной функции представляет из себя непрерывную линию.
Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке [а,
] и принимает все значения из отрезка
, тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а,
), непрерывна в точке а справа и в точке
слева. (рис.9)
![]() |
Рис. 9
Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка .
Например, функция непрерывна во всех точках интервала
(–1,1), непрерывна в точке справа и в точке
слева, так как оно монотонно возрастает в
и для
.
ТеоремаПусть функции и
непрерывны в точке
. Тогда функции
1) , 2)
, 3) при
.
также непрерывны в точке .
Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке
и
, а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Рис. 10
Следствие 1. Если и функция
непрерывна в точке
, то
.
Пример. .
Следствие 2. Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках своей области определения, а в граничных точках отрезков области определения непрерывна справа или слева.
Это следует из теорем 1, 2, 3.