Составление уравнений динамики упругих систем с распределенными массами

(волновые уравнения)

Для большого класса машин и механизмов решение задач динамики строится на физических моделях с сосредоточенными массами, т.к. распределенные массы, как правило, можно заменить сосредоточенными путем их приведения (см. п. 1.4). Однако в ряде случаев (большая протяженность рассчитываемых объектов, большие скорости деформации последних и т.п.) необходимо рассматривать элементы машины как системы с распределенными массами.

Рассмотрим порядок составления уравнений движения частиц для наиболее простых и характерных случаев, которые часто встречаются в практике расчетов.

На рис. 37 приведена схема стержня постоянного сечения S, подвергающегося растяжению и сжатию.

Известно, что скорость распространения упругой волны в прямом стержне

, (282)

где – удельный вес материала стержня.

Жесткость растягиваемого или сжимаемого стержня равна

. (283)

Если масса стержня

, (284)

то

. (285)

Жесткость определяет частоту колебаний системы. С уменьшением L (при неизменном значении m) жесткость резко возрастает.

Время распространения упругой волны по длине стержня может быть выражено в виде

. (286)

С уменьшением L время t_B уменьшается. Скорость распространения упругой волны в сплошных металлических средах равна 5000 м/с. Время t_B при L=10 м равно 0,002 с. Таким образом, при малых L упругая волна достигает противоположного конца стержня в течение малого времени.

Время распространения упругой волны в длинных стержнях существенно, пренебрегать им нельзя, и движение отдельных сечений следует рассматривать более строго.

Если U – продольное перемещение любого сечения стержня, x – координата рассматриваемого сечения, то относительное удлинение стержня можно записать в виде , а растягивающую силу . Приращение ее будет

.

Сила вызывает движения элемента, ограниченного длиной dx, с ускорением . Используя принцип Даламбера, можем написать

, (287)

или

. (288)

Заменим . Тогда получим вместо (288)

. (289)

Уравнение (289) называется волновым уравнением и описывает свободные плоские (одномерные) колебания стержня с распределенной массой.

При наличии возмущающей силы, вызывающей вынужденные плоские (одномерные) колебания системы, волновое уравнение имеет вид

. (290)

Волновое уравнение свободных колебаний пространственной системы в координатах x, y, z:

. (291)

15. Способы решения волновых уравнений

Общий интеграл волнового уравнения вида (289) находят введением новых переменных

, ,

откуда

и . (292)

По правилам дифференцирования сложной функции

; (293)

. (294)

Дифференцируя выражения для x и t по z и h, получим:

; ; ; .

Подставляя эти значения в (293) и (294), найдем

; (295)

. (296)

Затем, дифференцируя и применяя те же правила еще раз, получим

; (297)

. (298)

Вычитая (298) из (297) и преобразуя, найдем

. (299)

Поскольку

, (300)

имеем

, (301)

откуда можем заключить, что не зависит от h и является функцией только z.

Выразим

. (302)

Тогда

, (303)

где – некоторая функция от h, которая представлена в виде постоянной интегрирования по z.

Обозначая

, (304)

получим общее решение уравнения (302)

, (305)

или в прежних переменных

. (306)

Начальные условия: при и .

Подставляя начальные условия, получим

, (307)

. (308)

Из выражения (308) найдем

, (309)

где – интегрируемое выражение .

Следовательно,

, (310)

. (311)

Подставляем значения и в общее решение (306):

, (312)

или

. (313)