Глава 2. дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Основные понятия
Определение 1.Уравнение вида:
(1)
называется дифференциальным уравнением второго порядка. Если из этого уравнения выразить
то оно называется разрешенным относительно второй производной.
Определение 2.Общим решением уравнения (1) называется семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных 
и 
:
или 
В первом случае его называют общим решением, во втором – общим интегралом уравнения (1).
Определение 3.Задачей Коши для уравнения (1) и заданных начальных условий: 
называется поиск частного решения этого уравнения, удовлетворяющего этим начальным условиям:
где 
и 
определенные числа, полученные из общего решения при подстановке в него начальных условий.
Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
1) Уравнение не содержит явно 
и 
Пусть дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
(2)
Тогда, учитывая равенство: 
получим:
Следовательно, общее решение уравнения (2) задается функцией:
2) Уравнение не содержит явно
Пусть уравнение (1) имеет вид:
(3)
Для решения такого уравнения выполняется замена:
Эта замена понижает порядок уравнения, приводя уравнение (3) к ДУ первого порядка:
Решим полученное уравнение относительно функции 
Получим общее решение этого уравнения:
где 
произвольная постоянная.
Далее, подставив в полученное решение 
получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Откуда получим:
где 
произвольная постоянная.
Итак, получено общее решение уравнения (3):
3) Уравнение не содержит явно 
Пусть уравнение (1) имеет вид:
(4)
Для решения такого уравнения выполняется замена:
Эта замена понижает порядок уравнения, приводя уравнение (4) к ДУ первого порядка:
Решим полученное уравнение относительно функции 
Получим общее решение этого уравнения:
где произвольная постоянная. Далее, подставив в полученное решение 
получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными:
где произвольная постоянная.
Итак, получим общий интеграл уравнения (4):
Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. Это уравнение не содержит и 
Учитывая равенство 
получим
где 
и произвольные постоянные.
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Это уравнение не содержит явно . Поэтому выполним замену:
Такая замена понижает порядок данного уравнения и приводит к уравнению первого порядка:
Это уравнение является однородным первого порядка вида 
так как:
Выполним замену:
Тогда получим:
(*)
Уравнение получилось с разделяющимися переменными. Получим его решение, разделяя переменные, а затем интегрируя:
Получили общее решение уравнения (*). Вернемся к переменным и :
Подставив 
в общее решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка:
где 
и 
произвольные постоянные.
Получили общее решение данного уравнения.
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Это уравнение не содержит явно . Поэтому выполним замену:
Такая замена понижает порядок данного уравнения и приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:
(**)
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как:
Получим его решение, разделяя переменные, а затем интегрируя:
Получили общее решение уравнения (**). Вернемся к переменным и 
Подставив 
в полученное решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка c разделяющимися переменными:
где 
и 
произвольные постоянные.
Получили общий интеграл данного уравнения.
Ответ: 
.
Пример 4. Решить задачу Коши:
Решение. Данное уравнение не содержит явно 
Поэтому выполним замену:
Такая замена приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:
(***)
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его, разделяя переменные, а затем интегрируя:
Получили общее решение уравнения (***). Вернемся к переменным и :
Подставив в полученное решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
где 
и произвольные постоянные.
Получили общий интеграл данного уравнения. Используем начальные условия: 
чтобы найти значения и 
для частного решения данного уравнения.
Следовательно, решением задачи Коши является частное решение уравнения, получающееся из общего при подстановке в него значений 
и 
:
Ответ: 
Примеры
Решить уравнения или задачи Коши:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
(или 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Замечание. Дифференциальные уравнения вида 
не содержащие в явном виде как независимую переменную 
так и искомую функцию 
можно решать как уравнение вида 2) или 3).