Касательные и нормали к кривым

Касательная к кривой y = f(x) в точке P(x₁, y₁) определяется уравнением
y = y₁ + f'(x₁)(x - x₁),
где f'(x₁) есть значение производной df/dx в точке x = x₁ (рис. 6.1).

Если рассматриваемая кривая имеет в точке P вертикальную или почти вертикальную касательную, определение касательной при помощи этой формулы невозможно или затруднительно. Затруднения подобного рода легко преодолеваются, если для описания кривой используется неявное уравнение g(x, y) = 0. Тогда неявное уравнение касательной будет иметь вид:
g_x(x₁, y₁)(x - x₁) + g_y(x₁, y₁)(y - y₁) = 0,
где g_x(x₁, y₁) и g_y(x₁, y₁) суть значения производных дg/дx и дg/дy в точке P.

Пример. Касательная к окружности x² + y² - 1 = 0 в точке (1, 0) вычисляется следующим образом.

Поскольку g(x, y) = x² + y² - 1 = 0, то g_x = 2x и g_y = 2y, откуда следует, что g_x(1, 0) = 2 и g_y(1, 0) = 0. Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид 2(x - 1) + 0(y - 0) = 0, то есть касательная является вертикальной линией x = 1. Заметим, что если окружность или касательная записаны в явном виде, получить этот результат невозможно.

Явное выражение для нормали, восстановленной в точке P, имеет вид:
y = y₁ - (x - x₁)/f '(x₁).

Это уравнение непригодно для случая, когда кривая горизонтальна в точке P. Соответствующее уравнение неявного вида записывается следующим образом:
g_y(x₁, y₁)(x - x₁) - g_x(x₁, y₁)(y - y₁) = 0.

Это уравнение позволяет определять нормали в тех случаях, когда применение явного уравнения невозможно или сопряжено с некоторыми трудностями.

§2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Напомним, что производной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х при стремлении ∆х к 0: Выведем ряд формул, облегчающих дифференцирование функций.
1.Производная постоянной величины.
Пусть f(x) = C = const. Тогда: Т1: Производная постоянной величины равна 0:
2. Производная суммы двух функций.
Т2: Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции аргумента х. Пусть существуют u΄(x) и v΄(x). Тогда в точке х
производная суммы функций равна сумме их производных
Введём вспомогательную функцию w(x) = u(x) + v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) + v(x+∆x)] – [u(x) + v(x)] = =[u(x+∆x) – u(x)] + [v(x+∆x) – v(x)] = ∆u(x) + ∆v(x).
Т.е. в точке х верно утверждение: ∆w = ∆u + ∆v. Разделим обе части равенства на ∆х ≠ 0 : . При равенстве выражений, зависящих от Δх, равными должны быть и их пределы при стремлении ∆х к нулю:
Введём вспомогательную функцию w(x) = u(x) · v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) · v(x+∆x)] – [u(x) · v(x)] = =[u(x) + ∆u(x)]∙[v(x) + ∆v(x)] – [u(x) ∙ v(x). Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x) => u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: ∆w = (u+∆u)(v+∆v) – uv = uv +u∆v + v∆u+∆u∆v – uv => ∆w = u∆v + v∆u +∆u∆v. Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0: Лемма: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е. Используя теоремы о пределах, имеем окончательно: , ч. и т.д.
Воспользовались теоремой: предел суммы равен сумме пределов, если таковые существуют. В соответствии с определением производной: w΄ = u΄ + v΄ , ч. и т.д.

Эту теорему легко обобщить на случай большего числа функций одного аргумента:

3. Производная произведения двух функций.
Т3: Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции одного аргумента . Тогда в точке х
производная произведенияфункций равна:
Введём вспомогательную функцию w(x) = u(x) · v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) · v(x+∆x)] – [u(x) · v(x)] = =[u(x) + ∆u(x)]∙[v(x) + ∆v(x)] – [u(x) ∙ v(x). Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x) => u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: ∆w = (u+∆u)(v+∆v) – uv = uv +u∆v + v∆u+∆u∆v – uv => ∆w = u∆v + v∆u +∆u∆v. Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0:   Лемма: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е. Используя теоремы о пределах, имеем окончательно: , ч. и т.д.
Следствие 1: постоянный множитель можно выносить за знак производной: Следствие 2:
4. Производная частного двух функций.
Т4: Пусть u = u(x) и v =v(x ≠0 – функции аргумента х.
Пусть существуют u΄(x) и v΄(x). Тогда в точке х
производная частного функций равна:
Введём вспомогательную функцию .
Её приращение в точке х: Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x) => u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0: Напомним, что если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е.
Используя теоремы о пределах, имеем окончательно:

5. Производная сложной функции. Т5: производная сложной функции равна произведению производных функций, из которых она состоит (по соответствующим аргументам). Пусть у = f(u), a u = g(x) и множество значений второй функции составляет область определения первой. Пусть существуют f΄(u) и g΄(x) . Тогда: (Напомним, что для непрерывной функции u(x) при Δx → 0 и Δu → 0 ). П: 6. Таблица производных
Правила дифференцирования:

ПРОИЗВОДНАЯ

При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M0(x, y). Если аргументу xдатьприращение Dx, то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+Dy = f(x + Dx). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M1(x + Dx, y + Dy). Если провести секущую M0M1 и обозначить через jугол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M0, и уголjизменяется с изменением Dx. При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f´(x) = tga

т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента xравняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функцииf(x) в соответствующей точке M0(x,y) с положительным направлением осиOx.