АД, АВ АА1} – правый. Построить вектор, равный векторному произведению векторов СВиСС1.

РЕШЕНИЕ

Обозначим [СВ СС₁] = р. Тогда по определению векторного произведения имеем

1, Длина вектора р равна площади параллелограмма, построенного на векторах СВи СС₁,но этот параллелограмм является квадратом с единичной стороной, поэтому │р│= 1.

2. р СВ, р СС₁,следовательно вектор р коллинеарен вектору СД.

3. Базис { СВ, СС₁ р}правый. Но по условию базис

{АВ, АД, АА₁} – правый, этот базис соответствует левой руке, следовательно базис { СВ, СС₁ р}также соответствует левой руке.

Из 2. и 3. следует, что вектор р = СР = - СД.

6.52. Дан прямоугольный параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁, │АВ│=2, │АД│=1, │АА1│= ½. Базис {ВА, ВС ВВ₁} – левый. Построить вектор, равный векторному произведению векторов

а) СДиСС₁, б) Д₁А₁иДС ,в)В₁С₁иВВ₁.

ЗАДАЧА

Найти [(3а +2b) (5а –3b)],если[а b] = с.

РЕШЕНИЕ

Используя свойства векторного произведения, упростим данное векторное произведение.

[(3а +2b) (5а –3b)] = [3а (5а +3b)] + [2b (5а -3b)] = [3а5а] + [3а3b] +

[2b5а ] + [2b(-3b)] = 0 +9[а b] +10[b а ] - 0 =9[а b] -10[а b]=

-[а b] = -с

ОТВЕТ - с.

6.53. Упростить выражения: а) [(а – b) (а + b)],б)[(а +2b - с) (а -2b)],

в)[а (2b + с –3а)],г) [(а – р) (а - р)].

ЗАДАЧА

В ортонормированном правом базисе даны векторы а(5,1,0),

B(2,2,-1), с(1,-3,1), d(0,0,1). Найти координаты вектора [ [а b ] [с d ]].

РЕШЕНИЕ

1. Сначала найдем координаты векторных произведений [а b ]и[с d ].

| i j k|

[а b ] = |5 1 0 | = - i +5j +8k [а b ] (-1, 5, 8).

|2 2 -1|

| i j k|

[с d ] = |1 -3 1 | = -3i -1j +0k [с d ] (-3, -1, 0).

|0 0 1|

2. Теперь найдем координаты [ [а b ] [с d ]].

| i j k |

[[а b ] [с d ]] = | -1 5 8 | =5i -24j +16k [[а b ] [с d ]] (5,-24,16).

|-3 -1 0|

ОТВЕТ. (5, -24, 16).

6.54. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(3,1,2),

b(2,7,4), с(1,2,1). Найти координаты векторов [а b ], [ b с ], [а с ]иих длины.

6.55. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(0,1,0),

b(2,-1,3), с(0,5,-2), d(1,2,-3). Найти координаты векторов:

а) [а (b + с) ];б)[b (d - с) ];в)[(с -2d) (с + b) ];г)[(а+ b)(с + d)].

6.56. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(3,0,-1),

b(2,4,3), с(-1,3,2), d(2,0,1). Найти а) координаты вектора [ [а b ] с],

б) скалярное произведение [а с ] · [ b d ].

6.57. Дан ортонормированный базис {i, j, k}. Доказать, что для любых векторов а и b [а b ] = (а b i) i +( а b j) j + (а b k) k.

6.58. Доказать, что для любых векторов а, bисверно, что:

а) [(а – b)(а + b )] =2[а b],б)[(b – а)(с – b)] = [а b] + [ bс] + [с а] .

6.59. Доказать, что если [а b] + [b с] + [с а] = 0,то векторы а, b, с

компланарны.

6.60. Векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = сне компланарны. Доказать, что вектор [а b] + [b с] + [с а]перпендикулярен плоскости(АВС).

6.61. Доказать, что а) если а + b + с= 0, то [а b] = [b с] = [с а],

б) если векторы а и bне коллинеарны и [а b] = [b с] = [с а],то

а + b + с= 0.

6.62. Доказать тождества: а) [а b]² + (а b)² = а² b²,

б) [ [а b] с] = b(ас) – а( bс).

ЗАМЕЧАНИЕ.В задачах 63) – 68) система координат прямоугольная декартовая.

ЗАДАЧА

Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС. Найти длину ее высоты АН если А(1,0,1), В(5,0,0), С(0,1,2), А₁(3,-1,1).

РЕШЕНИЕ

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту, т.е

V_{АВСА1В1С1} = S_АВС АН. (*)

Найдем координаты АВ, АС, АА₁ . АВ(4,0,-1),АС(-1,1,1),АА₁(2,-1,0).

Найдем объем призмы. V_{АВСА1В1С1} = ½ |АВ АС АА₁|.

|4 0 -1|

АВ АС АА₁= |-1 1 1 | =5 V_{АВСА1В1С1} = 5/2

|2 -1 0|

Найдем площадь основания. S_АВС = | [АВ АС ] | /2.

| i j k |

[АВ АС ] = |4 0 -1| = i -5j +4k [АВ АС ] (1, -5, 4)

|-1 1 1|

| [АВ АС ] | = = S_АВС = /2.

Из формулы (*) следует, что АН = .

ОТВЕТ. АН = .

6.63. Найти площадь треугольника АВС, если а) А(3,4,-1), В(2,0,3),

С(-3,5,4), б) А(-1,1,2), В(1,1,0), С(2,6,-2).

6.64. Найти длину высоты АН тетраэдра АВСД, если А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(5,5,-1), Д(1,-2,2).

6. 65. Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁, построенный на векторах

АВ(4,3,0), АД(2,1,2), АА₁(-3,-2,5). Найти а)объем параллелепипеда; б)площади граней, в) высоту, проведенную из вершины А₁ на грань АВСД;

г) косинус угла между ребром АВ и диагональюВ₁Д; д) косинус угла между гранями АВСД и АДД₁А₁.

6.66. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС, построенная на векторах АВ(0,1,-1), АС(2,-1,4), АА₁(-3,2,2). Найти а)объем призмы;

б) площади граней; в) высоту призмы ; г) угол между ребрами В₁С₁ и АА₁.

6.67. Дан тетраэдр АВСД , построенный на векторах АВ(2,0,0), АС(3,4,0), АД(3,4,2). Найти а)объем тетраэдра; б) площади граней; в)высоту ДН;

г) косинус угла между ребрами АВ и ВС; д) угол между гранями АВС и АДС.

6.68. Доказать, что четырехугольник АВСД, где А(2,-3,1), В(-1,1,1), С(-4,5,6), Д(2,-3,6), является плоским и найти его площадь.