Оценка параметров систем одновременных уравнений

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе и которые обозначаются через y.

Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Обозначаются через x.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возрастная категория) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных переменных коэффициенты Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru и экзогенных переменных – коэффициенты Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru , которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под x подразумевается Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru , а под Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru – соответственно Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы (6.3) отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru (6.4)

где Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru – коэффициенты приведенной формы модели, Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru – остаточная величина для приведенной формы.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.

Для структурной модели вида

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru (6.5)

приведенная форма модели имеет вид

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru (6.6)

Из первого уравнения (6.5) можно выразить Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru следующим образом (ради упрощения опускаем случайную величину):

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru .

Подставляя во второе уравнение (6.5), имеем

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru ,

откуда

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru .

Поступая аналогично со вторым уравнением системы (3.5), получим

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru ,

т.е. система (6.5) принимает вид

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru

Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициенты приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты структурной формы следующим образом:

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru

Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

52. Проблема идентификации структурных моделей. Необходимое и достаточные условия идентифицируемости.

При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрист сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Структурная модель (6.3) в полном виде содержит Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru параметров, а приведенная форма модели в полном виде содержит Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru параметров. Т.е. в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Соответственно Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т.е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. На структурные коэффициенты могут накладываться, например, ограничения вида Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru .

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: идентифицируемые; неидентифицируемые; сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru -м уравнении системы через Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru , а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, — через Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru , то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

Таблица 4.1

Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru уравнение идентифицируемо
Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru уравнение неидентифицируемо
Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru уравнение сверхидентифицируемо

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны Оценка параметров систем одновременных уравнений - student2.ru . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Наши рекомендации