Правила на основе ранжировок

2.1. Правило Бордá. Это правило, названное в честь французского математика Жана-Шарля де Бордá, который его впервые предложил, состоит в том, что суммируются ранги каж-дой альтернативы, затем альтернативы с наименьшей суммой рангов объявляются самыми предпочтительными, а далее предпочтения выстраиваются в порядке возрастания суммы ран-гов.

Пример 1. Пусть три участника ранжируют три альтернативы x, y, z следующим образом:

r₁: x y z;

r₂: x z y;

r₃: y x z.

Альтернатива x получила ранг 1 у 1-го и 2-го участников и ранг 2 у 3-его участника. Сумма ран-гов S(x) = 1+1+2 = 4. Альтернатива y получила ранг 2 у 1-го участника, ранг 3 у 2-го участника и ранг 1 у 3-го участника, т.е. S(y) = 2+3+1 = 6. Наконец, альтернатива zполучила ранг 3 у 1-го и 3-го участников и ранг 2 у 2-го участника, т.е. S(z) = 3+2+3 = 8. Таким образом, располагая альтернативы в порядке возрастания суммарных рангов, приходим к строгой ранжировке r:x y z■

Обратим внимание на то, что в примере 1 коллективное решение, построенное по правилу Бордá, представляет собой строгую ранжировку, т.е., по сути дела, линейный порядок. Но так бывает не всегда. Рассмотрим следующий

Пример 2. Пусть три участника ранжируют четыре альтернативы x, y, z, w, следующим образом:

r₁: w x y z;

r₂: w z x y;

r₃: w y z x.

Подсчитаем суммарные ранги каждой альтернативы. Для альтернативыwS(w) = 3. Для альтер-нативыxимеем S(x) = 2+3+4 = 9. Аналогично получаем S(y) = 3+4+2 = 9 и S(z) = 3+2+3 = 9. Таким образом, в данном случае имеем нестрогую ранжировку r: {w} {x, y, z} ■

Пример 3. В случае циклически сдвинутых ранжировок

r₁: x y z;

r₂: y z x;

r₃: z x y

получаемS(x) = S(y) = S(z) = 6. Поэтому единственная группа альтернатив, получивших ранг 1, совпадает с исходным множеством {x, y, z}. Нестрогая ранжировка {x, y, z} и ранжировкой, по сути дела, не является – все альтернативы равноправны ■

Желание избежать подобных ситуаций инициировало разработку нескольких правил пост-роения агрегирующих ранжировок, которые рассматриваются в разделах 2.2 – 2.4

Задание 1. Найти коллективное решение, используя правило Бордá, для следующих ран-жировок:

01r1: x1 x2 x3 x4; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x1 x3 x2 x4.	02 r1: x1 x3 x4 x2; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x3 x1 x2 x4.	03r1: x2 x1 x3 x4; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x1 x3 x2 x4.
04r1: x2 x3 x5 x4; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x3 x1 x2 x4.	05r1: x1 x2 x4 x3; r2: x2 x4 x3 x1; r3: x1 x3 x2 x4.	06r1: x1 x4 x2 x3; r2: x2 x1 x4 x3; r3: x3 x1 x2 x4.
07r1: x2 x1 x4 x3; r2: x1 x4 x2 x3; r3: x1 x3 x2 x4.	08r1: x2 x4 x3 x5; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x1 x3 x2 x4.	09 r1: x1 x3 x2 x4; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x3 x1 x2 x4.
10 r1: x1 x3 x2 x4; r2: x2 x4 x1 x3; r3: x3 x1 x2 x4.	11 r1: x1 x3 x2 x4; r2: x2 x1 x4 x3; r3: x2 x1 x3 x4.	12 r1: x1 x2 x3 x4 x5; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.
13 r1: x1 x2 x3 x5 x4; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x4 x1 x5 x3.	14 r1: x1 x2 x4 x3 x5; r2: x2 x5 x1 x3 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.	15 r1: x1 x2 x4 x5 x3; r2: x3 x4 x1 x2 x5; r3: x2 x1 x4 x5 x3.
16 r1: x1 x2 x5 x3 x4; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.	17 r1: x1 x2 x5 x4 x3; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.	18 r1: x1 x3 x2 x4 x5; r2: x3 x5 x1 x4 x2; r3: x2 x1 x4 x5 x3.
19 r1: x1 x3 x2 x5 x4; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.	20 r1: x1 x3 x4 x2 x5; r2: x2 x5 x1 x3 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.	21 r1: x1 x3 x4 x5 x2; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x1 x4 x5 x3.
22 r1: x1 x3 x5 x4 x2; r2: x3 x5 x1 x2 x4; r3: x2 x4 x1 x5 x3.	23 r1: x5 x1 x4 x3 x2; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x4 x1 x3 x2.	24 r1: x5 x1 x4 x2 x3; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.
25 r1: x5 x1 x3 x4 x2; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x5 x2 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.	26 r1: x5 x1 x3 x2 x4; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x3 x5; r4: x5 x1 x3 x4 x2.	27 r1: x5 x1 x2 x3 x4; r2: x1 x5 x2 x4 x3; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.
28 r1: x5 x1 x2 x4 x3; r2: x1 x5 x2 x3 x4; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.	29 r1: x5 x3 x1 x2 x4; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.	30 r1: x5 x3 x1 x4 x2; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.
31 r1: x5 x3 x2 x1 x4; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x5 x2 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.	32 r1: x5 x3 x2 x4 x1; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x3 x5; r4: x5 x1 x3 x4 x2.	33 r1: x5 x3 x4 x1 x2; r2: x1 x5 x3 x4 x2; r3: x4 x1 x2 x5 x3; r4: x5 x1 x3 x4 x2.

■

2.2. Паретовское правило.Пусть, как и ранее, n участников ранжируют m альтернатив, образующих множество Ω. Каждой альтернативе x сопоставляется вектор v(x) = (v₁(x), …, v_n(x)), где v_i(x) – ранг, который альтернатива xполучает у i-го участника (i= 1, …, n). Определим би-нарное отношение R на множестве альтернатив Ω следующим образом: xRy тогда и только тог-да, когда вектор v(x) превосходит по Парето вектор v(y) (в данном случае «лучше» значит «меньше»). Легко видеть, что отношение R на множестве Ω будет ацикличным и транзитивным, т.е. по определению из раздела 14-2.3 оно является частичным порядком. Положим Ω₁ равным множеству Ω^R недоминируемых по отношению Rальтернатив, Ω₂ = (Ω Ω₁)^R, и т.д. Присвоим всем элементам множества Ω₁ ранг 1, множества Ω₂ – ранг 2, и т.д. Полученную нестрогую ранжировку можно назвать паретовской ранжировкой (вообще говоря, она может быть и строгой).

Пример 4.3 участника ранжировали 5 альтернатив следующим образом:

r₁: x₁ x₃ x₄ x₂ x₅;

r₂: x₂ x₅ x₁ x₃ x₄;

r₃: x₂ x₁ x₄ x₅ x₃.

Напишем для этих альтернатив векторы v(x). По построению, v(x₁) = (1,3,2), v(x₂) = (4,1,1), v(x₃) = (2,4,5), v(x₄) = (3,5,3), v(x₅) = (5,2,4). Эти данные означают, что векторы v(x₃) и v(x₄) доминируются вектором v(x₁), вектор v(x₅) доминируется вектором v(x₂), а векторы v(x₁) и v(x₂) никем не доминируются. Поэтому Ω₁ = {x₁, x₂}. Оставшиеся три вектора v(x₃) = (2,4,5), v(x₄) = (3,5,3), v(x₅) = (5,2,4) несравнимы по отношению Парето. Поэтому паретовская ранжировка в данном случае такова: {x₁, x₂} {x₃, x₄ , x₅}.

Для сравнения рассмотрим ранжировку, получаемую правилом Бордá. В данном случае суммы рангов таковы: S(x₁) = 6, S(x₂) = 6, S(x₃) = 11, S(x₄) = 11, S(x₅) = 11, т.е. альтернативы образуют те же самые группы. Таким образом, коллективные решения, полученные правилом Бордá и паретовским правилом, в данном случае совпадают ■

Пример 5.Пусть теперь три участника ранжировали 5 альтернатив следующим образом:

r₁: x₁ x₂ x₃ x₄ x₅;

r₂: x₁ x₂ x₃ x₄ x₅;

r₃: x₂ x₃ x₄ x₅ x₁.

Паретовское правило даёт следующую нестрогую ранжировку: {x₁, x₂} {x₃} {x₄} {x₅}. В то же время правило Бордá даёт следующие суммы рангов: S(x₁) = 7, S(x₂) = 5, S(x₃) = 8, S(x₄) = 11, S(x₅) = 14. Получаем строгую ранжировку: x₂ x₁ x₃ x₄ x₅, не совпадающую с той нестрогой ранжировкой, которую даёт паретовское правило■

Задание 2. Найти коллективное решение для данных из задания 1, используя паретовское правило ■

2.3. Правила с удалением альтернатив (передачей голосов). При описании ряда мето-дов построения коллективного решения возникает необходимость в пересчёте ранжировок при удалении одной альтернативы из некоторого множества. Суть дела поясним на примере.

Пример 6. Пересчёт ранжировок.Пусть 5 участников дали следующие ранжировки для пяти альтернатив, образующих исходное множество Ω: