Побудова області стійкості по двох параметрах

Розглянемо випадок впливу двох параметрів на стійкість системи. При цьому решта всіх параметрів системи повинна бути задані. В якості варійованих параметрів, як правило, приймають постійну часу Т одного з конструктивних елементів системи і передавальний коефіцієнт k розімкненого контуру або одного з елементів. Варійовані параметри k і Т повинні входити в характеристичне рівняння системи лінійно, тобто рівняння не містить перемножень k і Т і їх ступенів вище першою. Характеристичне рівняння може бути представлене в наступному вигляді:

, (1)

де A(p), B(p), C(p) - поліноми від р, коефіцієнти яких не залежать від k і Т.

Якщо варійовані параметри входять в рівняння нелінійно, то слід ввести такі дві нові змінні, які були б функціонально пов'язані з k і Т і входили б в рівняння лінійно.

Згідно загальній методиці D-розбиття підставимо в характеристичне рівняння (1) замість змінній р уявний корінь jω. Тоді отримаємо тотожність

, (2)

яке при кожному фіксованому значенні ω можна розглядати як рівняння з невідомими k і Т.

Кожен з трьох поліномів, що входять в рівняння (2), після зведення jω в парні і непарні ступені можна представити у вигляді суми дійсної і уявної частин:

(3)

Підставляючи (3) в (2) і групуючи дійсні і уявні доданки, отримаємо

(4)

Відомо, що комплексна величина дорівнює нулю тоді, коли одночасно дорівнюють нулю її дійсна і уявна частини. Тому, умова (4) еквівалентна двом рівнянням:

(5)

Ця система двох рівнянь дає можливість визначити для кожного фіксованого значення ω два невідомих k і Т.

Для вирішення системи (5) скористаємося методом визначників:

(6)

(7)

де

; (8)

; (9)

. (10)

Вирази (6) і (7) є рівнянням кривої D-розбиття, заданим в параметричній формі. Підставляючи в ці вирази різні значення параметра ω (у діапазоні від - до + ), можна побудувати основну межу області стійкості (рис. крива АВС).

Оскільки поліноми А₁(ω), В₁(ω), С₁(ω) - парні функції, а поліноми А₂(ω), В₂(ω), С₂(ω) - непарні, то визначники Δ, Δ₁ і Δ₂ є непарними функціями змінної ω; відповідно f₁(ω) і f₂(ω) - парні функції ω. З цього виходить, що крива D-розбиття при зміні ω від - до + проходить двічі через одні і ті ж точки: перший раз при зміні ω від - до 0 і другий раз - при зміні ω від 0 до + .

Рисунок Область стійкості в площині двох параметрів.

Крива D-розбиття, побудована в площині двох параметрів, штрихується за наступним правилом:

якщо головний визначник Δ > 0, то штрихування наноситься зліва (при русі уподовж кривої у бік збільшення ω); якщо визначник Δ< 0, то штрихування наноситься справа. Це правило сформульоване стосовно цілком певного порядку побудови кривої D-розбиття: рівняння, що виходить від прирівнювання до нуля дійсної частини, повинне бути записане в першому рядку системи (5); параметр, що стоїть на першому місці, необхідно відкладати по осі абсцис.

Оскільки при проходженні змінної ω через нуль знак головного визначника Δ міняється на протилежний, то штрихування кривої D-розбиття завжди подвійне.

Рівняння (5) визначають в площині k - T одну єдину крапку (при фіксованому значенні ω) лише у тих випадках, коли ці рівняння сумісні і лінійно незалежні, тобто коли визначники Δ, Δ₁ і Δ₂ не дорівнюють нулю. Якщо ж при деякому значенні ω всі три визначники одночасно звертаються в нуль або нескінченність, то рішення (6) і (7) стають невизначеними. Це означає, що при даному значенні ω рівняння (5) еквівалентні, тобто одне відрізняється від іншого на постійний множник. У системі координат k - Т таким «винятковим» значенням ω_И відповідають так звані особливі прямі (див. рис., прямі ВF, АЕ і СЕ). Рівнянням персоною прямої може служити будь-яке з рівнянь (5):

, (11)

де ω_И - "виняткові" частоти, при яких всі три визначники Δ, Δ₁ і Δ₂ одночасно звертаються в нуль або в нескінченність і рішення (6) і (7) стають невизначеними.

У багатьох практичних завданнях параметри k і Т входять в старший коефіцієнт a₀ або вільний коефіцієнт a_n характеристичного рівняння системи. В цьому випадку рівняння двох особливих прямих отримують прирівнюванням вказаних коефіцієнтів до нуля:

; . (12)

Перше рівняння відповідає ω_И = 0, а друге - ω_И = .

Штрихування особливих прямих виконують по наступних правилах. Особливі прямі, відповідні ω_И = 0 і ω_И = , штрихують один раз (прямі АЕ і СЕ), а прямі, відповідні 0 < ω < , штрихують двічі (прямі ВF). В точках перетину (або сполучення) персоною прямої з кривій D-розбиття, відповідних ω = ω_И, заштриховані сторони прямої і кривої повинні бути звернені один до одного (точки А,В,С). Причому, якщо в точці перетину визначник Δ міняє знак, то штрихування персоною прямої переходить на протилежну сторону прямої, якщо ж знак визначника не міняється, то напрям штрихування залишається тим самим.

Після нанесення штрихування виявляють області з найбільшим числом лівого коріння.