Методические указания к решению первой контрольной работы

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) - е):

А)

Анализ задачи. Так как для данных дробей степень числителя больше степени знаменателя, то

и . Поэтому мы имеем дело с неопределённостью ∞ –∞. Следовательно, теоремой о пределе разности воспользоваться нельзя и необходимо провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение. Приводим выражение к общему знаменателю:

= = =

= = = /значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то ж е ненулевое число/ =

Следовательно, =

=

Ответ: 3

Б)

Решение. Вычислим сначала предел логарифмируемого числа:

Из непрерывности функции у(х)=log₃x следует, что если предел lim _x-> f(x) существует. Поэтому

Ответ: -1

Теорема (Первое правило Лопиталя). Пусть функции f(x)и g(x)имеют производные в некоторой окрестности точки а. Если пределы функций равны нулю и

и если существует предел отношения производных , то предел­ отношений функций равен пределу отношения производных =

Теорема (Второе правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x)имеют производные в некоторой окрестности точки а. Если пределы функций равны бесконечности и и если существует предел отношения производных , то пре­дел отношения функций равен пределу отношения производных =

в)

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможно, поскольку, как показывает подстановка числа -3 вместо х, и предел числителя и предел знаменателя равны нулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если х₁, х₂ - корни квадратного трехчлена ах² + bx + с, то ах² + bх + с = а (х - х_l) (х - х₂). Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

3х² + 8х -= 3 = о; D = b² - 4ас = 8² + 4 *3 * 3 = 100;

х_{1,2 ;} х₂= -3.

Отсюда, 3х' + 8х - 3 = 3 (х - ) (х - (-3)) = (3х -l)(x + 3).

Аналогично, х² + 5х -+- 6 = 0 <=> x_l = -2; х₂ = -3;

Поэтому х² + 5х + 6 = (х + 2)(х + 3).

Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:

/так как функция у= непрерывна в точке х= -3, подставляем х= -3/= .

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и зна­менателя при х→ -3 равны нулю, применимо правило Лопита­ля.

Ответ: 10

г) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо хпоказывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо про­вести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряжённых выражений , и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

/ так как функция непрерывна в точке х=2, подставляем х=2 / =

Ответ:

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо хпоказывает, что пре­дел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость . Для того, чтобы раскрыть неопре­деленность можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной ; при этом . Так как у=0 при х=0, то у→0.

.

Используем теперь тригонометрическую формулу

= / применяем первый замечательный предел /

Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

/ подставляем x = 0, cos0 = 1 / Ответ:

е)

Решение:

= / замена переменной так как / =

/

= / предел произведения равен произведению пределов / /

= / используем второй замечательный предел /

Предел вычислен подстановкой

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность . Ответ: .

ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функции а) – г):

а) Вычислить производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции :

. Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу и, подставляя , получаем Ответ: .

б) Вычислить производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции .

Так как , где , то по таблице производных сложных функций (таблица 2 пункт 2.) находим:

.

Теперь вычисляем производную функцию у(х), пользуясь формулой производной отношения:

Ответ:

в) Вычислить производную .

Анализ задачи. Функция представляет собой произведение трех функций . Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

Следовательно,

Решение.

.

Ответ:

г) Вычислить производную функцию

Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством , представим у(х) в виде . Так как , то и поэтому . В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой , читая ее слева на право.

Ответ: .

ЗАДАЧА 3. Исследовать функции и построить их графики:

а) исследовать функцию

Решение.

1) Так как - многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся – числовая прямая:

2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку ; ; ; .

3) Заметим, что при и при поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена , который неограниченно возрастает при и неограниченно убывает при . Поэтому .

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.

4) – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение

.

(в вариантах 5-7 контрольной работы корни уравнения у(х) =0 находятся подбором. Если Вам достался один из этих вариантов, попробуйте подставить числа .

5) Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции , , и решаем уравнение , критические точки . Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:

; ; ;

		- 4		-1
	+		-		+
	k	максимум	m	минимум	k

Итак, функция возрастает при и при и убывает при ; локальный минимум – , локальный максимум – .

6) используя пункт 3) получаем, что множество значений функции – вся числовая прямая, .

7) Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем ее к нулю:

Для определения знаков второй производной подставляем в нее числа из промежутков и

;

Рис. 1. Графики функций 3.а) и 3.б)

	-		+
	выпуклость вверх	перегиб	выпуклость вниз

Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: , тангенс угла наклона ³ (угол наклона α равен ) равен значению производной в данной точке . При построении касательной откладываем 2,0 см от точки А (-2,5; 0,25) по оси Ох вправо и 2,7 см вдоль оси Оу вниз и получаем точку В (-2,5+2; 0,25-2,7), В(-0,5;-2,45). Проводим через точки А и В прямую (АВ). График функции у(х) должен касаться прямой (АВ) в точке А.

8) На этом исследование функции закончено и остается лишь вычислить ее значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.

б) Исследовать функцию .

Решение.

1). Так как и , то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку ;

3)

/ замена у = -х /

.

4) Так как , то – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение у (х) = 0, т.е. . Так как любая степень числа е положительная, мы можем разделить на обе части уравнения: ; D=81-4*22=-7<0.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет корней. Иначе говоря, график функции не пересекает ось Ох и поэтому, в силу своей непрерывности, функция у(х) не меняет своего знака на протяжении всей числовой оси. Отсюда вытекает, что у(х)>0 для всех действительных

чисел х, поскольку у(0)>0.

5) Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

Для определения критических точек функции решим уравнение

критические точки –

		- 4		-1
	+		-		+
	m	минимум	k	максимум	m

Локальный минимум – локальный максимум –

6) Используя пункты 3) -5), получаем, что

7) Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.

		-3
	+		-		+
	вып. вниз	перегиб	вып. вверх	перегиб	вып. вниз

Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:

, и построить касательные графику функции в этих точках.

8) Так как функция определена на всей числовой оси и функция имеет правую горизонтальную асимптоту

9) Строим график функции.

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) –г):

а) .

Решение. Решение данной задачи требует знания формулы дифференциала функции . Используя тригонометрическую формулу , получаем:

Пусть . Тогда , и следовательно, по формуле дифференциала. Отсюда .

Последнее равенство получено формулам таблицы интегралов:

(1)

Ответ:

б)

Решение. Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям:

В этой формуле принимаем за функцию Тогда (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем).

По формуле находим производную второго сомножителя

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям, получаем:

Ответ:

в)

Решение. Так как корнями знаменателя является и , то по формуле , знаменатели раскладываются на множители.

Представим дробь в виде следующей суммы:

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

(2) .

Подставляя в последнее равенство находим, что .

Поставляя в равенство (2), находим, что .

Таким образом, .

Итак, .

Здесь мы воспользовались формулой (1).

Ответ: .

г) .

Анализ задачи. Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного двучлена отрицателен, , справедливо равенство:

.

Решение. Для вычисления интеграла найдем дискриминант знаменателя и рассмотрим функцию . Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя и заметим, что ; . Отсюда,

Вычислим получившиеся интегралы по–отдельности.

1) .

2)

.

Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:

.

ЗАДАЧА 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Изобразите эту фигуру на координатной оси.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С.

; ; .

у = х2 + 3х + 1	у		у = х + 4
					В
А
	-3	С				х

Рис. к задаче 5

Найдем точки пересечения графиков функций: .

,

Заметим, что графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам А (-3;1) и В (1;5).

Пусть S – площадь фигуры АВС, ограниченной графиками функций. Так как при , то

Ответ: .

УПРАЖНЕНИЯ

1. Предел последовательности

1. Дана постоянная последовательность для всех натуральных чисел . Докажите, используя определение предела последовательности, что

2. Докажите, что

3. Докажите, используя определение предела последовательности, что

4. Докажите, используя определение предела последовательности, что при 0 < q < 1.

5. Докажите, что всякая числовая последовательность может иметь не более одного предела.

6. Докажите, что .

7. Докажите, что

8. Докажите, что

9. Является ли последовательность бесконечно малой?

10. Является ли последовательность бесконечно малой?

11. Является ли последовательность бесконечно малой?

12. Найти предел .

13. Найти предел последовательности .

14. Найти предел последовательности .

15. Найти предел последовательности .

16. Найти предел последовательности .

Объясните, какие свойства пределов и теоремы Вы использовали для вычисления этого предела.

17. Найти предел последовательности .

18. Найти предел последовательности .

19. Вычислить предел .

20. Найти предел последовательности .

2. Предел функции. Непрерывность

21. Докажите, что .

22. Найдите, используя определение предела функции, предел функции при . Используя графические соображения, найдите односторонние пределы и .

23. Докажите, что .

24. Докажите, что .

25. Докажите, что .

26. Докажите, что .

27. Найти предел функции. Докажите, что .

28. Вычислить предел функции , где - постоянная величина.

29. Вычислить предел .

30. Вычислить предел .

31. Вычислить предел .

32. Найти предел функции .

33. Найти предел функции .

34. Построить график функции . Является ли функция непрерывной в точке ?

35. Построить график функции . Является ли эта функция непрерывной?

3. Производная

36. Найти производную функции .

37. Найти производную функции .

38. Найти производную функции .

39. Найти производную функции .

40. Найти производную функции .

41. Найти производную функции .

42. Найти производную функции .

43. Найти производную функции .

44. Найти производную функции .

45. Вычислить производную функции .

46. Вычислить производную функции .

47. Вычислить производную функции .

48. Вычислить производную функции .

49. Вычислить производную функции .

50. Вычислить производную данной функции .

51. Вычислить производную функции: .

52. Пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, найдите производную функции .

53. При каком значении параметра p касательная к графику функции , проведенная в точке с абсциссой , параллельна прямой ?

54. Выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.

55. Выяснить геометрический смысл теоремы Ферма.

56. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя, .

57. Используя правило Лопиталя, вычислить предел .

58. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

59. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

60. Найти предел функции (можно воспользоваться правилом Лопиталя) .

61. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

62. Найти дифференциал функции . Найти дифференциал функции в точке .

63. Вычислить .

64. Вычислить .

65. Вычислить частные производные функции двух переменных .

66. Вычислить частные производные функции двух переменных .

67. Вычислить частные производные функции двух переменных .

68. Вычислить частные производные функции двух переменных .

69. Вычислить частные производные функции двух переменных .

70. Вычислить частные производные функции двух переменных .

4. Исследование функций

71. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции .

72. Построить график функции . Найти точки локального экстремума функции и наибольшее значение этой функции на отрезке .

73. Построить график функции и найти точку минимума этой функции.

74. Исследовать функцию и построить ее график.

75. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

76. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

77. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

78. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

79. Приведите пример функции, не обладающей на некотором числовом промежутке наибольшим значением.

80. Найти асимптоты функции .

5. Интеграл

81. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .

82. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .

83. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .

84. Используя формулу замены переменной, вычислить неопределенный интеграл .

85. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .

86. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .

87. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .

88. Вычислить неопределенный интеграл, используя метод замены переменной .

89. Вычислить неопределенный интеграл .

90. Вычислить неопределенный интеграл .

91. Вычислить определенный интеграл .

92. Вычислить определенный интеграл .

93. Найти .

94. Вычислить определенный интеграл .

95. Вычислить .

96. Вычислить .

97. Вычислить .

98. Вычислить .

99. Найти .

100. Найти .

101. Найти .

102. Вычислить .

103. Вычислить неопределенный интеграл .

104. Приведете пример функции, которую нельзя проинтегрировать в элементарных функциях.

105. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

106. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

107. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

108. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

109. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Формулировки условий задач контрольной работы:

1. Вычислить предел функции.

2. Вычислить производную функции.

3. Исследовать функции и построить их графики.

4. Вычислить неопределенные интегралы.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

ВАРИАНТ 0

1.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

2.

а)	б)
в)	г) .

3.