Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме
В соответствии с законом Фарадея − Ленца, э. д.с. индукции, воз-буждаемая в неподвижном замкнутом проводящем контуре, определя-ется формулой:
| ε = − dФm . | (5.1.1) |
i dt
Тем самым было выяснено, что переменное магнитное поле соз-дает в проводящем замкнутом контуре вихревое электрическое поле. Согласно определению, э.д.с. равна циркуляции вектора напряженно-сти электрического поля:
| ε = ∫ Edl . | (5.1.2) |
| L |
Обобщенный таким образом закон Фарадея − Ленца имеет вид:
| ∫ | dФ | m | . | (5.1.3) | |||
| Edl | = − | ||||||
| dt | |||||||
| L |
Формула (5.1.3) получила название первое уравнение Максвелла в интегральной форме:циркуляция вектора напряженности электри-ческого поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь по-верхность, ограниченную контуром. Из этого уравнения следует, что пе-ременное магнитное поле создает в пространстве вихревое электриче-ское поле независимо от того, находится в этом поле проводник или нет.
Явление возникновения в пространстве вихревого электрического поля под влиянием переменного магнитного поля было использовано для создания индукционного ускорителя электронов − бетатрона
(рис. 5.1.1). Идея этого метода ускорения электронов высказана в 1928 г. норвежским физиком Рольфом Видероэ. В дальнейшем она была разра-ботана русским физиком Яковом Петровичем Терлецким. Первый бе-татрон был построен в 1940 г. в США Дональдом Вильямом Керстом.
K 
ЭM
B
E
Рис. 5.1.1
Основной частью бетатрона является мощный электромагнит ЭМ с коническими полюсными наконечниками. Между наконечниками расположена ускорительная камера К, имеющая форму тора и отка-чанная до высокого вакуума. Обмотка электромагнита питается пере-менным током. Изменение силы тока в обмотке электромагнита вызы-вает в пространстве между его полюсами изменение магнитного поля и возникновение вихревого электрического поля. Силовые линии вих-ревого электрического поля представляют собой концентрические ок-ружности и расположены в плоскости, перпендикулярной оси элек-тромагнита и проходящей через середину зазора между полюсами. В определенный момент времени в камеру попадает пучок электронов из термоэлектронного излучателя, расположенного внутри камеры. На каждый электронов будет действовать сила со стороны электрическо-го поля, вследствие чего скорость у электронов будет увеличиваться. Непременным условием ускорения электрона является его непрерыв-ное движение по одной и той же орбите. Для этого полюсным нако-нечникам придают такую форму, чтобы магнитное поле убывало от центра к краю по определенному закону.
Согласно закону полного тока (1.5.10), циркуляция вектора на-пряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:
| ∫ Hdl = I. | (5.1.4) |
| L |
Из закона полного тока следует, что источником магнитного поля являются упорядоченно движущиеся электрические заряды. Максвелл предположил, что помимо токов всех видов, связанных с упорядочен-ным движением зарядов, источником возникновения магнитного поля является также переменное электрическое поле.
Действительно, по теореме Гаусса поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен:
| ФD = ∫ Dn dS = q , | (5.1.5) |
| S |
где q − алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, ох-ватываемых замкнутой поверхностью.
Продифференцируем это выражение по времени:
| dФD | d | ∫ | dq | (5.1.6) | ||||
| = | Dn dS = | . | ||||||
| dt | dt | |||||||
| dt | S |
Если поверхность S неподвижна и не деформируется , то измене-ние во времени потока смещения сквозь поверхность S вызывается только изменением электрического смещения D. Поэтому полную производную, стоящую в правой части уравнения, можно заменить частной производной по времени и дифференцирование внести под знак интеграла:
| dq | = ∫ | dDn dS. | (5.1.7) |
| dt | S | dt |
С другой стороны, сила тока определяется выражением:
| I = dq | S | ||
| = ∫ jn dS. | |||
| dt | (5.1.8) | ||
Из сравнения выражения (5.1.8) с формулой (5.1.7) следует, что вели-чина dDdtn имеет размерность плотности тока. Эта величина представляет
собой численное значение нормальной составляющей плотности тока, обусловленного не движением свободных электрических зарядов, а изме-
нением во времени электрического поля. Поэтому Джеймс Максвелл предложил назвать величину dDdt плотностью тока смещения:
| = | dD | . | (5.1.9) | ||
| j | |||||
| см | dt | ||||
Следовательно, плотность тока смещения в данной точке про-странства равна скорости изменения вектора электрического смеще-ния в этой точке.
Током смещения сквозь произвольную поверхность S называетсяфизическая величина , численно равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность:
| I см=∫( jсм)n dS =∫ | dD | d | dФ | D | ||||||||
| n dS = | ∫ Dn dS | = | . | (5.1.10) | ||||||||
| dt | ||||||||||||
| S | S | dt | dt S | |||||||||
До Дж. Максвелла считалось, что если цепи постоянного тока должны быть обязательно замкнутыми, то это условие не обязательно для цепей переменных токов. С точки зрения Максвелла, цепи любых токов замкнуты. Замкнутость цепей переменных токов обеспечивается токами смещения, которые протекают на тех участках, где нет про-водников, например, между обкладками конденсатора в процессе его зарядки или разрядки.
Согласно Максвеллу ток смещения, подобно обычным токам про-водимости , является источником возникновения вихревого магнитно-го поля. В общем случае токи проводимости и ток смещения не разде-лены в пространстве, как это имеет место , например, в конденсаторе с переменным напряжением на обкладках. Все типы токов существуют в одном и том же объеме, поэтому можно говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и токов смещения. Тога обобщен-ный закон полного тока будет иметь вид:
| ∫ Hdl = I + Iсм. | (5.1.11) |
| L |
Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Мак-свелл приписал току смещения только одно свойство − способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.
Учитывая ток смещения (5.1.11), получим:
| ∫ | dФD | (5.1.12) | ||||
| Hdl | = I + | . | ||||
| L | dt |
Формула (5.1.12) получила название второе уравнение Максвелла в интегральной форме:циркуляция вектора напряженности магнитно-го поля по замкнутому контуру L равна полному току, пронизываю-щему поверхность, ограниченную этим контуром.
Из уравнения (5.1.12) следует , что переменное магнитное поле может возбуждаться движущимися зарядами (электрическим током) и переменным электрическим полем (током смещения). Из двух урав-нений Максвелла можно сделать важный вывод: между электриче-ским и магнитным полями существует тесная взаимная связь. Изме-нение во времени электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля, а переменное магнитное поле является источником вихревого электрического поля.
Первые два уравнения Максвелла (5.1.3) и (5.1.12) дополняются еще двумя уравнениями. Третье уравнение Максвелла выражает тео-рему Гаусса для потока вектора электрического смещения сквозь про-извольную замкнутую поверхность S, охватывающую суммарный за-ряд q:
| ∫ DndS = q. | (5.1.13) |
| S |
Оно позволяет рассчитывать электрическое поле, созданное за-данной системой электрических зарядов, произвольным образом рас-положенных в пространстве.
Четвертое уравнение Максвелла представляет собой теорему Га-
усса для магнитного потока сквозь произвольную замкнутую поверх-ность S:
| ∫ Bn dS =0. | (5.1.14) |
| S |
Эта теорема является следствием того, что свободных магнитных «зарядов» (свободных магнитных полюсов) в природе не существует.
Система уравнений (5.1.3, 5.1.12–5.1.14) является системой урав - нений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.