Электромагнитные колебания и волны

Пример решения задач

1. В колебательном контуре амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора за время с уменьшается в раз ( ). Найти: а) величину коэффициента затухания контура; б) величину активного сопротивления контура; в) добротность контура, если электроемкость конденсатора мкФ, индуктивность катушки Гн.

Дано: мкФ Гн с	Решение В колебательном контуре происходят затухающие электрические колебания. Амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора со временем уменьшается по закону
а) -? б) -7 в) -?	, (1) где – постоянная величина.

Через промежуток времени амплитуда напряжения

(2)

и уменьшается в раз. Поэтому из выражений (1) и (2) получается

. (3)

Прологарифмировав выражение (3), для коэффициента затухания имеем с^-1.

Коэффициент затухания и активное сопротивление контура связаны соотношением:

. (4)

Отсюда для величины следует: Ом.

Как известно, добротность контура определяется формулой:

Ответ: а) с^-1; б) Ом; в)

2. Цепь переменного тока частотой Гц и напряжения В состоит из последовательно соединенных конденсатора электроемкости мкФ, катушки индуктивности Гн, активного сопротивления Ом. Найти: а) импеданс (полное сопротивление) ; б) сдвиг по фазе между током и напряжением; в) силу тока ; г) падение напряжения на конденсаторе , катушке , активном сопротивлении .

Дано: В мкФ Гн Ом Гц	Решение Величины, характеризующие протекание тока циклической частоты в цепи, определяется выражениями для индуктивного сопротивления , емкостного сопротивления , реактивного сопротивления .
a) – ? б) – ? в) – ? г) – ? – ? – ?	Поэтому для искомых в задаче величин имеем: а) Ом.

б) , ;

в) А; г) В;

В; В

Ответ: а) Ом; б) ; в) А; г) В; В; В.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

18. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре дается в виде I = -0,020×sin400 pt (A). Индуктивность контура 1,0 Гн. Найти:

а) период колебаний;

б) емкость контура;

в) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора.

(T = 5·10^-3 c; C = 6,3·10^-7 Ф; U_max = 25 B)

19. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде

U = 50×сos10⁴pt (В). Емкость конденсатора составляет 9×10^-7 Ф. Найти:

а) период колебаний;

б) индуктивность контура;

в) закон изменения со временем силы тока в цепи;

г) длину волны, соответствующую этому контуру.

(T = 2·10^-4 c, L = 1,1 мГн, I = -1,4×sin10⁴×pt А, l = 6∙10⁴ м)

20. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С = 7 мкФ, катушки индуктивности L = 0,23 Гн и сопротивления R = 40 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Q = 5,6×10^-4 Кл. Найти:

а) период колебаний контура;

б) логарифмический декремент затухания колебаний.

Написать уравнение зависимости изменения разности потенциалов на обкладках конденсатора от времени.

(T = 8·10^-3 c; l = 0,7; U = 80 exp(-87×t)cos(250 pt))

21. В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения U_R на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе равно U_C = 2U_R и падение напряжения на индуктивности U_L = 3U_R.

(U_R = 156 B)

22. Цепь переменного тока образована последовательно включенными активным сопротивлением R = 800 Ом, индуктивностью L = 1,27 Гн и ёмкостью С = 1,59 мкФ. На зажимы подано 50-периодное действующее напряжение U = 127 В. Найти:

а) действующее значение силы тока I в цепи;

б) сдвиг по фазе между током и напряжением;

в) действующее значение напряжений U_R, U_L и U_C на зажимах каждого элемента цепи.

(71 мА; -63°; 57 В; 28 В; 142 В)

23. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 25 нФ и катушки с индуктивностью L = 1,015 Гн. Обкладкам конденсатора сообщается заряд q = 2,5 мкКл. Написать уравнения (с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциалов U и тока I в цепи от времени. Найти разность потенциалов на обкладках конденсатора и ток в цепи в моменты времени T/8, T/4, T/2 (T – период колебаний). Построить графики U(t) и I(t) в пределах одного периода.

( мА;

мА; ; мА;

24. В однородной и изотропной среде с = 3,0 и распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны = 10,0 В/м. Найти: а) амплитуду напряженности магнитного поля волны , б)фазовую скорость волны.

( = )

Оптика

Пример решения задач

1. На мыльную пленку с показателем преломления падает по нормали пучок лучей белого света. При какой наименьшей толщине пленки она в отраженном свете будет казаться зеленой ( )?

Дано:	Решение
– ?

Для того, чтобы в отраженном свете пленка выглядела зеленой, необходимо, чтобы при интерференции отраженных лучей выполнялось условие максимума для зеленой части спектра. Оптическая разность хода лучей 3 и 2, отраженных от нижней и верхней поверхностей пленки,

,

(оптический ход в плёнке луча 3 больше луча 2 на 2dn, но луч 2 отражается от оптически более плотной среды, поэтому его ход скачком увеличивается на ). Условие максима:

,

где k = 0, 1, 2… . Наименьшая толщина пленки будет при k = 0, тогда

Ответ: м.

2. На прозрачную дифракционную решетку с периодом мкм падает нормально монохроматический свет с длинной волны нм. Найти: а) наибольший порядок главного дифракционного максимума; б) угол дифракции главного дифракционного максимума наибольшего порядка.

Дано: нм мкм	Решение Условие главного дифракционного максимума порядка имеет вид , ( ),
а) – ? б) – ?	где – угол дифракции, соответствующего главного максимума

Как следует из выпеприведенной формулы, наибольший порядок дифракционного максимума должен удовлетворять соотношению .

Отсюда имеем . Поскольку угол не может быть больше , а m должно быть целым, то выбираем m = 2. Для соответствующего угла дифракции получим =

Ответ: а) ; б)

3. Луч света, падающий на поверхность кристалла каменной соли, при отражении максимально поляризуется, если угол падения равен 57°. Найти: а) показатель преломления кристалла каменной соли; б) скорость распространения света в этом кристалле.

Дано:	Решение Согласно закону Брюстера отраженный луч света максимально поляризован, если угол падения луча удовлетворяет соотношению . (1)
а) – ? б) – ?

Скорость света в кристалле может быть найдена из известного соотношения:

, (2)

где – скорость света в вакуме. Поэтому из формул (1) и (2) имеем

.

Ответ: а) б)

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

25. На мыльную пленку с показателем преломления n = 1,33 падает по нормали монохроматический свет с длиной волны l = 0,60 мкм. Отраженный свет в результате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина плёнки d_min? (0,11 мкм)

26. Плоская световая волна длиной l₀ в вакууме падает по нормали на прозрачную пластинку с показателем преломления n. При каких толщинах b пластинки отраженная волна будет иметь:

а) максимальную интенсивность;

б) минимальную интенсивность?

(а) b = (l₀/2n)(m+0,5) (m = 1, 2, 3...); б) b = (l₀/2n)m (m = 1,2,3...))

27. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плоско-выпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель преломления жидкости, если радиус r₃ третьего темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете с длиной волны l= 0,6 мкм равен 0,82 мм. Радиус кривизны линзы R = 0,5 м.

28. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны l= 500нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину d_min пленки, если показатель преломления материала пленки п = 1,4.

29. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной l = 1 см укладывается N = 10 темных интерференционных полос. Длина волны l = 0,7 мкм.

30. На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. Сверху линза освещена монохроматическим светом длиной волны l= 500 нм. Найти радиус R линзы, если радиус четвертого, темного Кольца Ньютона в отраженном свете r₄ = 2 мм.

31. На тонкую глицериновую пленку толщиной d=1,5 мкм нормально к ее поверхности падает белый свет. Определить длины волн l, лучей видимого участка cпектра (0,4 ≤ l ≤ 0,8 мкм), которые будут 'ослаблены в результате интерференции.

32. На стеклянную пластину нанесен тонкий слой прозрачного вещества с показателем преломления п = 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком Монохроматического света с длиной волны l = 640 нм, падающим на пластинку нормально. Какую минимальную толщину должен иметь слой, чтобы отраженный пучок имел наименьшую яркость?

33. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллельный пучок света с длиной волны l = 500 нм. Расстояние между соседними темными интерференционными полосами в отраженном свете b= 0,5 мм. Определить угол a между поверхностями клина. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клин, n = 1,6.

34. Плосковыпуклая стеклянная линза с f = 1 м лежит выпуклой стороной на стеклянной пластинке. Радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете r₅ = 1,1 мм. Определить длину световой волны l .

35. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нормально падающим монохроматическим светом (l=590 нм). Радиус кривизны R линзы равен 5 см. Определить толщину d₃ воздушного промежутка в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье светлое кольцо.

°

36. На дифракционную решетку нормально падает пучок света.

Красная линия (l = 6300 Å) видна в спектре 3-го порядка под углом j = 60°. Определить: а) какая спектральная линия видна под этим же углом в спектре 4-го порядка; б) какое число штрихов на 1 мм длины имеет дифракционная решетка.

(l = 475 нм; N = 460 мм^-1)

37. Источник света диаметром d = 30,0 см находится от места наблюдателя на расстоянии l = 200 м. В излучении источника содержатся волны длиной от 490 до 510 нм. Оценить для этого излучения: а) время когерентности ; б) длину когерентности ; в) радиус когерентности .

( 0,010 мм; 0,30 мм)

38. Какое наименьшее число N_min штрихов должна содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длинами волн l₁=589,0 нм и l₂= 589,6 нм? Какова длина l такой решетки, если постоянна решетки d = 5 мкм?

39. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в п = 4,6 раза больше длины световой волны. Найти общее число М дифракционных максимумов, которые теорети- чески можно наблюдать в данном случае.

40. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Спектры третьего и четвертого порядка частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается граница (l =780 нм) спектра третьего порядка?

41. На дифракционную решетку, содержащую п = 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется поме- щенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину l спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L=1,2 м. Границы видимого спектра: l _кр=780 нм, l_ф=400 нм.

42. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения. Расстояние d между атомными плоскостями равно 280 пм. Под углом q = 65° к атомной плоскости наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Определить длину волны l рентгеновского излучения.

43. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая световая волна (l=600 нм).Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму, j = 20°. Определить ширину а щели.

44. На дифракционную решетку, содержащую n = 100 штрихов на 1 мм, нормально падает монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Dj = 16°. Определить длину волны l света, падающего на решетку.

45. На дифракционную решетку падает нормально монохромати- ческий свет (l=410 нм). Угол Dj между направлениями на максимумы первого и второго порядков равен 2°2^/. Определить число п штрихов на 1 мм дифракционной решетки.

46. Постоянная дифракционной решетки в п = 4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол a между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.

47. Расстояние между штрихами дифракционной решетки d=4 мкм. На решетку падает нормально свет с длиной волны l = 0,58 мкм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?

48. Пластина кварца толщиной d₁ = 1,0 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света определенной длины волны на угол j₁ = 20°. Определить:

а) какова должна быть длина d₂ кварцевой пластинки, помещенной между двумя “параллельными” николями, чтобы свет был полностью погашен;

б) какой длины l трубку с раствором сахара концентрации С = 0,40 кг/л надо поместить между николями для получения того же эффекта.

Удельное вращение раствора сахара a₀ = 0,665 град/(м^-2×кг).

(d₂ = 4,5 мм; l = 3,4 дм)

49. Под каким углом к горизонту должно находиться солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, стали бы наиболее полно поляризованы, если скорость света в воде 2,26×10⁸ м/с? (37°)

50. Пластинка кварца толщиной d = 4,0 мм (удельное вращение кварца 15 град/мм), вырезанная перпендикулярно оптической оси, помещена между двумя скрещенными николями. Пренебрегая потерями света в николях, определите, во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего эту систему.

.