Релятивистский закон преобразования скоростей
Преобразования Лоренцанетрудно обобщить на случай произвольной взаимной ориентации систем и , и произвольного направления скорости . Для этого заметим, что при переходе от одной ИСО к другой, преобразуется только продольная компонента радиус- вектора , а поперечная не преобразуется. Разложение на продольную и поперечную удобно осуществлять с помощью проективных операторов
, (7)
со следующими свойствами:
(8)
Оператор позволяет находить проекцию на направление, задаваемое вектором , а оператор I - на ортогональную ему плоскость, так что
(9)
и и преобразуются при переходе от s к следующим образом:
, , (10)
а
.
Итак,
. (11)
Для будем иметь
. (12)
Обратные преобразования получаются заменой штрихованных величин на не штрихованные, а V на -V .
Закон преобразования скорости легко найти, вычисляя дифференциалы от левой и правой частей соотношений (11)-(12) :
то .
Таким образом,
, (13)
Обратное преобразование имеет вид
. (14)
В частном случае, когда , получаем
. (15)
Соотношения (13)-(15) выражают релятивистский закон сложения скоростей. Формулу (15) называют формулой Эйнштейна.