Аналіз стійкості лінійних систем

Однією з найважливіших характеристик САУ є стійкість. Причому, якщо показники точності визначають ступінь корисності і ефективності системи, то від стійкості залежить працездатність системи. Система, що не володіє стійкістю, взагалі не здатна виконувати функції керування і має нульову або навіть негативну ефективність (тобто система шкідлива). Нестійка система може привести керований об'єкт в аварійний стан. Тому проблема стійкості систем є одній з центральних в ТАУ.

Фізичний сенс поняття стійкості. Стійкість автоматичної системи - це властивість системи повертатися в початковий стан рівноваги після припинення впливу, що вивів систему з цього стану рівноваги. Нестійка система не повертається в початковий стан, а безперервно віддаляється від нього.

Математична суть стійкості і нестійкості. Згідно даному вище фізичному визначенню стійкість визначається характером руху системи, коли впливи, що вивели її із стану рівноваги, припинили діяти або змінюватися в часі. Такий рух системи називають вільним. Він відбувається за рахунок внутрішньої енергії самої системи і залежить тільки від її властивостей (параметрів).

Вільний рух лінійної або лінеаризованої САУ описується однорідним диференціальним рівнянням

(1)

y(t) = y_c(t) – вільна складова вихідної величини системи.

Вимушена складова вихідної величини, що залежить від виду зовнішнього впливу і відповідно від правої частини диференціального рівняння системи, на стійкість лінійної системи не впливає.

З математичної точки зору система є стійкою, якщо вільна складова y_c(t) перехідного процесу з часом прагне до нуля: .

Якщо вільна складова необмежено зростає: , то система не стійка.

Якщо вільна складова не прагне ні до нуля, ні до нескінченності, то система знаходиться на межі стійкості: .

Вільна складова вихідної величини може бути знайдена як розв’язання відповідного однорідного диференціального рівняння (1) у вигляді суми:

(2)

де C_k – постійні інтеграції, залежні від початкових умов;

p_k - корні характеристичного рівняння a₀pⁿ+ a₁p^n-1+ a₂p^n-2+…+ a_n = 0.

Корінь характеристичного рівняння може бути дійсним (p_k = a_k), уявними (p_k = jb_k) і комплексними p_k = a_k± jb_k, причому комплексні корені завжди попарно зв'язані між собою.

Вільна складова (2) при часі t ® ¥ прагне до нуля лише в тому випадку, якщо кожен доданок вигляду Характер цієї функції часу залежить від виду кореня p_k . Розглянемо всі можливі випадки розташування кореня p_k на комплексній площині і відповідні їм функції y_с(t), які показані у середині кіл.

1. Кожному дійсному кореню p_k = a_k в рішенні (2) відповідає доданок вигляду

. (3)

- якщо a_k < 0 (корінь p₁), то функція y_c(t) при t®¥ прагне до нуля і є убуваючою експонентою;

- якщо a_k > 0, то функція y_c(t) з часом необмежено зростає - зростаюча експонента (корінь p₃);

- якщо a_k = 0 (корінь p₂), то y_c(t) залишається постійною - пряма паралельна осі часу t.

2. Кожній парі комплексно зв'язаних коренів p_k = a_k+jb_k та p_k+1 = a_k-jb_k відповідає вирішення рівняння (1) наступного вигляду:

(4)

Функція y_c(t) є синусоїдою з частотою b_k і амплітудою, що змінюється в часі як експонента.

- a_k < 0 (корінь p₅ та p₄) – коливальна складова затухатиме.

- a_k > 0 (корінь p₈ та p₉) – амплітуда коливань необмежено зростає.

- a_k = 0 (корінь p₆ та p₇) – обидва корені уявні: p_k = +jb_k и p_k+1 = -jb_k, то y_c(t) є незгасаючою синусоїдою з частотою b_k.

На підставі проведеного аналізу коренів характеристичного рівняння можна сформулювати загальну умову стійкості:

- для стійкості лінійної САК необхідне і достатньо, щоб дійсні частини усіх коренів характеристичного рівняння системи були негативними.

- для стійкості лінійної системи необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння знаходилися в лівій півплощині комплексної площини коренів.

Наявність хоч би одного правого кореня робить систему нестійкою.

Стійкість системи залежить тільки від виду кореня характеристичного рівняння і не залежить від характеру зовнішніх впливів на систему. Стійкість є внутрішня властивість системи, що властива їй незалежно від зовнішніх умов.

Уявна вісь jb є межею стійкості в площині коренів. Якщо характеристичне рівняння має одну пару чисто уявних коренів (p_k = +jb_k и p_k+1 = -jb_k), а решта усіх коренів знаходиться в лівій напівплощині, то в системі встановлюються незгасаючі гармонійні коливання з круговою частотою w = |b_к|. Це коливальна межа стійкості.

Точка b = 0 на уявній осі відповідає нульовому кореню. Якщо рівняння має один нульовий корінь, то система знаходиться на аперіодичній межі стійкості. Якщо таких кореня два, то система нестійка.