Метод наложения (суперпозиции)
Метод основан на принципе суперпозиции , обусловленным линейностью электрической цепи. Если линейная цепь подвергается воздействию одновременно нескольких источников, то реакция цепи равна сумме реакций на каждое воздействие отдельно. Тогда принцип наложения можно сформулировать следующим образом: ток в любой ветви ЭЦ равен сумме токов, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных; напряжение между двумя точками ветви равно сумме напряжений, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных.
4.1. Алгоритм расчета тока в k-той ветви (напряжения между точками «а» - «б» в k-той ветви).
I. Получают столько L частичных схем, сколько в исходной схеме ЭЦ источников (ИИН и ИИТ).
II. В каждой частичной схеме оставляют один источник, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями [0 для ИИН, ∞ (разрыв) для ИИТ].
III. Рассчитывается ток k-той ветви - Ikl (напряжение Uабkl в k-той ветви) каждой l-ной частичной схемы.
IV. Рассчитывается ток k-той ветви - Ik (напряжение Uабk в k-той ветви):
Ik = . Uабk = , руководствуясь правилом знаков – если направления токов (напряжений) в полной и частичной схеме совпадают, то токи (напряжения) берутся со знаком «+», если не совпадают – со знаком «-».
Пример 4
Рассчитать ток ветви а-б схемы рис.4 методом наложения.
Дано:
Е1, В | J, А | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом |
0,2 |
Расчет.
Поскольку исходная схема содержит два источника, ток Iх будет определяться как суперпозиция токов Iх = Iх` ± Iх`` ветви а-б двух частичных схем (рис. 5 и рис.6).
I. Расчет тока Iх` осуществляется с использование правила делителя тока, так как ток J разветвляется по двум ветвям:
Iх` = .
II.Для расчета тока Iх`` можно воспользоваться методом узловых потенциалов при условии, что потенциал точки «в» равен нулю, тогда ток
Iх`= .
Согласно МУП потенциал φа определяется из уравнения
Подставив числовые значения получаем:
Iх = Iх` ± Iх``= 0,34 А
Пример 5
Рассчитать напряжение Uаб схемы рис.7 методом наложения.
Дано:
Е1, В | J, А | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом |
0,2 |
Расчет:
Поскольку исходная схема содержит два источника, напряжение Uаб будет определяться как суперпозиция напряжений Uаб = Uаб`± Uаб``для двух частичных схем (рис.8 и рис.9).
Очевидно, что напряжение Uаб`= -Е1, поскольку источник Е1 работает в режиме Х.Х. и точка «а» имеет отрицательный потенциал.
Напряжение
Uаб``= - J R1 = -10 В.
Таким образом, напряжение Uаб=-60В.
5. Метод эквивалентного генератора
Метод применяется в том случае, когда необходимо рассчитать ток какой-либо ветви сложной схемы. Ветвь с искомым током IX (рис.10) представляется нагрузкой активного двухполюсника (АД), который заменяет собой всю остальную схему ЭЦ. АД в свою очередь реализуется в виде реального источника напряжения (РИН), величина ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах 1-2 АД, а внутреннее сопротивление - входному сопротивлению этого АД. Напряжение холостого хода можно рассчитать любым из известных методов расчета схемы ЭЦ, для расчета же входного сопротивления необходимо превратить АД в пассивный двухполюсник, для чего заменить в нем идеальные источники энергии их внутренними сопротивлениями (ИИН - 0; ИИТ - ∞).
Пример 6
Рассчитать ток ветви 2-4 схемы рис.11 используя метод эквивалентного генератора (ЭГ).
Дано:
Е1, В | Е2, В | J, А | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом |
0,2 |
Расчет.
Расчет параметров ЭГ.
Расчет внутреннего сопротивления ЭГ производится по схеме рис.12, как входного сопротивления относительно зажимов 2-4 пассивного двухполюсника:
= 73,3 Ом.
Для расчета напряжения холостого хода целесообразно использовать метод наложения. Согласно методу - U24 = U24`± U24``, где U24`- напряжение между точками 2-4 первой частичной схемы, U24``- напряжение между точками 2-4 второй частичной схемы. Для контура обхода схемы рис.13 имеет место следующее равенство: U24` - I(R2+R4)+E1= 0, где ток I = . U24` = =I(R2+R4)-E1 = -16,6 В, Для контура обхода схемы рис.14 можно записать: U24`` + I2R4 – I1R2 = 0, откуда = I1R2 - I2R4 = Токи I1 и I2 определяются по правилу деления тока источника J:
= 0,079 А = 0,12 А.
U24`` = 3,45 В. Итак, UXXЭГ = U24. = -13,15 В. Следует обратить внимание на то, что ЭДС ЭГ (ЕЭГ) направлено от точки 2 к точке 4, т.к. UXXЭГ – отрицательная величина.
Расчет искомого тока. Согласно закону Ома для полной цепи:
IХ = .
Подставив в полученные выражения числовые значения получаем:
IХ= 0,566 А.
Баланс мощностей
Поскольку в цепи постоянного тока не происходит накопления энергии, согласно закону её сохранения, сумма мощностей, расходуемых в пассивных двухполюсниках и мощностей теряемых внутри генераторов должна быть равна алгебраической сумме мощностей, отдаваемых всеми генераторами:
. (5)
Соотношение 4.1 и называется балансом мощностей ЭЦ постоянного тока.
Анализируемая схема может содержать источники двух видов: ИИН и ИИТ, поэтому левую часть равенства 4.1 можно представить в виде:
(6)
где In – ток ветви с ИИН (всего ИИН – N), (φa – φb) – разность потенциалов зажимов ИИТ (всего ИИТ – M).
Пример 11
Рассчитать баланс мощностей для схемы рис.1, воспользовавшись результатами расчета токов примера 1. Согласно соотношениям (5) и (6) выражение, описывающее баланс мощностей, имеет вид:
.
В числовом выражении (величину φ1 возьмем из примера 7) получаем примерное, обусловленное конечной разрядностью, равенство 55 ≈ 56.
| |||