Построить линию пересечения поверхностей методом секущих сфер

Виды аксонометрических проекций

Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:

косоугольные, когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;

прямоугольные, когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:

изометрия— все три коэффициента искажения равны между собой (u = v = w);

диметрия — два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего (и не равно v = w или и= v не равно w);

триметрия — все три коэффициента искажения не равны между собой (u не равно v не равно w).

Основное предложение аксонометрии сформулировано немецким геометром К. Польке: три произвольной длины отрезка прямых, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных координатных осях от начала.

Согласно этой теореме любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые произвольной длины отрезки этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы.

Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных

осей и натуральных масштабов, т. е. аксонометрические масштабы можно выдавать совершенно произвольно, а коэффициенты искажения при этом связаны следующим соотношением: u2 + v2 = w2 = 2 + + ctg2(p, где ф — угол между направлением проецирования и плоскостью аксонометрических проекций (рис. 156). Для прямоугольной аксонометрии, когда ф = 90°, это соотношение принимает вид и2 + v2 + w2 = 2 (1), т. е. сумма квадратов коэффициента искажения равна двум.

При прямоугольном проецировании может быть получена только одна изометрическая проекция и бесконечное множество диметрических и триметрических проекций. ГОСТ 2.317—69 предусматривает применение в инженерной графике двух прямоугольных аксонометрии: прямоугольной изометрии и прямоугольной диметрии с коэффициентами искажения и = w = 2v.

Виды

Вид- изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Для уменьшения количества изображений допускается на видах показывать необходимые невидимые части поверхности предмета при помощи штриховых линий.

Устанавливаются следующие названия видов, получаемых на основных плоскостях проекций: вид спереди (главный вид); вид сверху; вид слева; вид справа; вид снизу; вид сзади.

Названия видов на чертежах надписывать не следует, за исключением случая, когда виды сверху, слева, справа, снизу, сзади не находятся в непосредственной проекционной связи с главным изображением (видом или разрезом, изображенным на фронтальной плоскости проекций).

При нарушении проекционной связи, направление проектирования должно быть указано стрелкой около соответствующего изображения. Над стрелкой и над полученным изображением (видом) следует нанести одну и ту же прописную букв. Чертежи оформляют так же, если перечисленные виды отделены от главного изображения другими изображениями или расположены не на одном листе с ним.

Разрезы

Разрезы разделяются, в зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций, на:

горизонтальные – секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций.

В строительных чертежах горизонтальным разрезам могут присваиваться другие названия, например, «план»;

вертикальные – секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций;

наклонные –секущая плоскость составляет с горизонтальной плоскостью проекций угол, отличный от прямого.

В зависимости от числа секущих плоскостей разрезы разделяются на:

простые – при одной секущей плоскости;

сложные – при нескольких секущих плоскостях.

Вертикальный разрез называется фронтальным, если секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций, и профильным, если секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций.

Сложные разрезы бывают ступенчатые, если секущие плоскости параллельны, и ломанным, если секущие плоскости пересекаются.

Сечения

Сечение - изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

Допускается в качестве секущей применять цилиндрическую поверхность, развертываемую затем в плоскость (рис. 19).

Сечения, не входящие в состав разреза, разделяют на:

вынесенные; наложенные.

Вынесенные сечения являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида.

Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями, а контур наложенного сечения – сплошными тонкими линиями, причем контур изображения в месте расположения наложенного сечения не прерывают.

Ось симметрии вынесенного или наложенного сечения указывают штрих - пунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками и линию сечения не проводят

В случае, при симметричной фигуре сечения линию сечения не проводят.

Построить линию пересечения поверхностей методом секущих сфер.

Задача аналогична построению линии пересечения конуса и сферы, как и последовательность ее решения. Но при построении точек линии пересечения в качестве секущих элементов применяются не плоскости, а сферы. Их применение в качестве секущих поверхностей-посредников основано на том, что соосные (имеющие общую ось вращения) поверхности вращения пересекаются не по пространственным кривым 4-го порядка, как в общем случае, а по окружностям, плоскости которых перпендикулярны их общей оси вpaщeния. Метод секущих сфер применяется для нахождения точек линии пересечения поверхностей в том случае, если оси этих поверхностей пересекаются и параллельны какой-либо плоскости проекций. Центр секущих сфер - в точке пересечения осей заданных поверхностей, т.к. только в этом случае сфера будет соосна с обеими поверхностями и пересекать их по окружностям.

Рассмотрим алгоритм метода секущих сфер на примере пересечения двух конических поверхностей, оси которых пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций (рис. 7):

Проводим сферу R c центром в точке О = ij, пересекающую обе поверхности.

Строим проекции окружностей, по которым сфера пересекает заданные поверхности. Так как оси i и j параллельны П2, а плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения, то на П2 эти окружности спроецируются в виде отрезков, перпендикулярных i2 и j2. Для построения проекций этих окружностей находим точки пересечения очерка сферы R c очерками заданных поверхностей и соединяем их попарно в отрезки, перпендикулярные соответственно i2 и j2. Конус с осью i пересекается сферой по окружностям а(а2) и b(b2), а конус с осью j - по окружностям m(m2) и n(n2).

Находим искомые точки линии пересечения как результат пересечения построенных окружностей. Окружность а пересекается с окружностями m и n в точках 1, 2, 3, 4, а окружность b - с окружностями n и m в точках 5, 6, 7, 8.

Проекции найденных точек на П1 и П2 находятся по принадлежности окружностям a, b, m, n. Например, окружности а и b параллельны П1 и проецируются в эту плоскость в натуральную величину. Построив их горизонтальные проекции, находим по принадлежности им горизонтальные проекции точек 1...8.

Для построения достаточного количества точек линии пересечения поверхностей необходимо провести достаточное количество секущих сфер и полученные точки соединить плавной кривой ( рис. 8). Радиусы R сфер, применяемых в качестве секущих, должны соответствовать выражению RminRRmax.

Для определения минимального радиуса Rmin на той плоскости проекций, которой параллельны оси поверхностей, из центра сфер проводятся нормали (перпендикуляры) n и n` к образующим заданных поверхностей. Большая из этих нормалей n будет равна Rmin. Сфера такого радиуса пересекает одну из поверхностей и касается другой. Если взять сферу радиусом меньшим Rmin, то она не будет пересекать одну из поверхностей и ее применение потеряет смысл.

Максимальный радиус секущей сферы Rmax равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерков заданных поверхностей. Сфера радиусом большим Rmax, пересекает обе поверхности, но линии пересечения не пересекаются между собой.