Справочные материалы к заданию 2

Далее приведены таблицы с основными свойствами пяти законов распределения случайной величины:

дискретные случайные величины

Название распределения	Пара-метры	Закон распределения	MX	DX
Биномиальное
Пуассона

непрерывные случайные величины

Название распределения	Пара-метры	Закон распределения	MX	DX
Равномерное на отрезке
Экспоненциальное
Нормальное

Примечания.

1. q=1-p

2. В таблице приведены для непрерывных величин выражения для плотностей распределения. Естественно, закон распределения можно также задать выражением для функции распределения.

Некоторые предельные теоремы теории вероятностей.

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

Если Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru , где n – количество независимых одинаковых опытов, в каждом из которых вероятность благоприятного исхода равна p, то закон распределения случайной величины – количества Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru благоприятных исходов m в серии из n опытов сходится по вероятности к плотности нормального распределения

Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru .

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Если Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru , где n – количество независимых одинаковых опытов, в каждом из которых вероятность благоприятного исхода равна p, то функция распределения случайной величины – количества благоприятных исходов m в серии из n опытов сходится по вероятности к функции нормального распределения:

Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru .

Теорема Пуассона.

Если Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru , то вероятность того, что количество благоприятных исходов равно m, по вероятности сходится к величине, определяемой по формуле Пуассона:

Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru .

При выполнении задания 2 предполагается использование встроенных функций системы Mathcad, таких как плотность распределения и функция распределения вероятностей для перечисленных выше законов. Обращение к этим функциям производится по имени. Имена и набор аргументов приведены в таблице:

Распределение	Плотность распределения	Функция распределения
биномиальное	dbinom(m,n,p)
Пуассона	dpois(m,a)
равномерное	dunif(x,a,b)	punif(x,a,b)
экспоненциальное	dexp(x,λ)	pexp(x,λ)
нормальное	dnorm(x,m,σ)	pnorm(x,m,σ)

Для того, чтобы обраться к одной из приведенных функций, необходимо выбрать кнопку f(x) на панели инструментов. В появившемся окне Insert Function выбрать категорию Probability Density (плотность вероятностей) или Probability Distribution(функция распределения), а затем имя функции.

Задание 2.

Каждый вариант второго задания состоит из двух пунктов:

2.1. Изучение пяти законов распределения;

2.2. Решение задачи с помощью одного из пяти законов распределения.

Задание 2.1.

Величина распределена по биномиальному закону. Постройте в одной системе координат многоугольники распределения для серии из n = N+5 (N - номер варианта) независимых испытаний с вероятностью успеха p = 0,1; 0,5; 0,9. Как изменяются вероятности Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru при изменении р? Найдите математическое ожидание МХ и дисперсию DX случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина распределена по закону Пуассона. Постройте в одной системе координат многоугольники распределения при значениях параметра распределения а = N/10; N/5; N/2. Как изменяются вероятности при изменении величины а? Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина равномерно распределена на отрезке [a,b]. Постройте в одной прямоугольной системе координат графики плотности распределения при следующих значениях параметров а и b: а=N-5, b=N; a=N, b=N+5; a=N-5, b=N+5. Постройте в другой прямоугольной системе координат графики функции равномерного распределения при тех же значениях параметра. Объясните качественно поведение графиков. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина распределена по экспоненциальному закону. Постройте в одной прямоугольной системе координат графики плотности распределения при следующих значениях параметра λ: λ= N/10; N/5; N/2. Постройте в другой прямоугольной системе координат графики функции экспоненциального распределения при тех же значениях параметра.

Объясните качественно поведение плотности распределения и функции распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина распределена по нормальному закону. Постройте в двух различных прямоугольных системах координат графики плотности распределения при следующих значениях параметров m и σ:

1) среднее квадратическое отклонение Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru постоянно, математическое ожидание m изменяется:

σ =1; m=N-1; N, N+1;

2) среднее квадратическое отклонение Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru изменяется, математическое ожидание m постоянно:

m=N; Справочные материалы к заданию 2 - student2.ru , , .

Постройте в двух других прямоугольных системах координат графики функции нормального распределения при тех же значениях параметров. Объясните качественно поведение плотности распределения и функции распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Пример выполнения задания 2.1. Вариант 26.

Замечание: в примере выполнения варианта 26 не проведен качественный анализ поведения графиков плотности распределения и функции распределения в зависимости от значений параметров. Предполагается, что студент должен сделать это самостоятельно.

Биномиальное распределение