Свойства степенного ряда и его суммы.

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.

Доказательство. Под почленным интегрированием понимается интегрирование ряда Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru по отрезку Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Результат этой операции: Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Это тоже степенной ряд, его радиус сходимости Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru равен радиусу сходимости исходного ряда.

Ряд, получающийся в результате почленного дифференцирования тоже степенной ряд: Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Его радиус сходимости Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru тоже равен радиусу сходимости исходного ряда.

2. (Почленное интегрирование степенного ряда).Пусть сумма степенного ряда на области сходимости равна функции Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , т.е. Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Тогда для Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда на отрезке иТеоремы 18.2.3.2 о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда.

3. (Почленное дифференцирование степенного ряда).Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда, составленного из производных членов исходного ряда, на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости иТеоремы 18.2.3.3 о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда.

4. (Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда).Сумма Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru степенного ряда в любой точке интервала сходимости имеет производные любого порядка; эти производные могут быть получены последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из доказанной теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда; последовательное применение этой теоремы даёт Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru и т.д.

18.2.5. Ряд Тейлора. Мы доказали, что сумма Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы (похожую задачу мы решали в разделе 7.7. Формула Тейлора).

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Положим здесь Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Все члены ряда, кроме нулевого, исчезают, и Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Положим Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , тогда Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Продолжая этот процесс, получим Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Заменив коэффициенты полученными выражениями, представим ряд как

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . В частном случае, когда Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru и ряд принимает вид

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , его принято называть рядом Маклорена. Напомним, что эти ряды получены в предположении, что Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru - сумма степенного ряда и х - точка интервала сходимости.

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Теперь рассмотрим обратную задачу: какой должна быть функция Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , чтобы её можно было представить в виде суммы степенного ряда? Первое, что очевидно, это то, что Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru должна быть бесконечно дифференцируемой функцией (так как сумма ряда бесконечно дифференцируема). Второе - то, что коэффициенты ряда должны быть равны Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Поэтому предположим, что дана бесконечно дифференцируемая функция Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , мы нашли коэффициенты ряда по формуле Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , составили формальный ряд Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru и нашли область его сходимости. Будет ли сумма этого ряда на области сходимости равна Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru ? Это тот вопрос, которым мы будем заниматься дальше.

Приведём пример, когда ряд Маклорена функции Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru сходится не к Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , а к другой функции. Пусть Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Мы докажем, что все производные этой функции в точке х=0 равны нулю. При Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Такие неопределённости придётся раскрывать при вычислении любой производной; заменой t=1/x они сводятся к неопределённостям, содержащим степенные и показательные функции, значение предела во всех случаях определяется пределом показательной функции и равно нулю. Значение производной в точке х=0 находим по определению производной:

Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Итак, производная Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru непрерывна в точке х=0 и равна нулю. Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru и т.д. Так доказывается, что все производные в точке х=0 равны нулю. Как следствие, все коэффициенты ряда Тейлора этой функции равны нулю, и на всей числовой оси ряд сходится к функции, тождественно равной нулю, а не к Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Сформулируем условия, при которых ряд Тейлора функции Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru сходится к этой функции. Эти условия удобно сформулировать в терминах остаточного члена формулы Тейлора. Напомним результаты раздела 7.7. Формула Тейлора: если Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru имеет в окрестности точки Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru все производные до n+1-го порядка включительно, то Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru может быть представлена в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , где Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru - остаточный член в форме Лагранжа; Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru - точка, расположенная между х и Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Теорема.Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru в окрестности точки Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Доказательство. Необходимость.Пусть в окрестности точки Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru функция Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , где Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru - частичная сумма ряда, Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru - его остаток. Так как Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Сравнивая эти представления, получаем Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru . Из сходимости ряда к Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru следует, что Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , что и требовалось доказать.

Достаточность.Если Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , то Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , т.е. остаток ряда стремится к нулю при Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru , т.е. ряд сходится к функции Свойства степенного ряда и его суммы. - student2.ru .

Наши рекомендации