Классификация механических колебаний

Все колебательные процессы, с которыми приходится встречаться в физике и технике, можно классифицировать в соответствии с законом, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени. Такую классификацию можно назвать кинематической в широком смысле этого слова. Колебания могут быть периодическими и непериодическими. Кроме того, имеется широкий промежуточный класс так называемых почти периодических колебаний.

Периодические колебания описываются периодической функцией, значение которой повторяется через определенный отрезок времени Т, называемый периодом колебаний, т.е.

при любом значении переменной t.

Непериодическими называются функции, не удовлетворяющие указанному условию.

Почти периодические функции определяются условием

при любом , где и – определенные постоянные величины. Очевидно, что если ε очень мало по сравнению со средним значением модуля функции за время , то почти периодическая функция будет близка к периодической, в которой будет почти периодом.

К наиболее распространенным периодическим колебаниям относятся гармонические колебания,

Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодических. Такие колебания чаще всего являются затухающими (рис. 2.1, а) или нарастающими (рис. 2.1, б) гармоническими колебаниями. Затухающие колебания математически могут быть представлены выражением

, (2.1)

где , , и – постоянные величины; – время.

Рисунок 2.1 – Развертки затухающих (а) и нарастающих (б) колебаний

Нарастающие гармонические колебания математически описываются аналогично (2.1), только знак при должен быть заменен на противоположный (плюс).

Строго говоря, название «затухающие гармонические колебания» не совсем логично, так как гармонические колебания не могут затухать, Тем не менее на практике этим названием пользуются.

Классификация колебательных процессов по внешним признакам не является достаточной, а потому она должна быть дополнена классификацией колебаний по основным физическим признакам рассматриваемых колебательных систем.

При исследовании колебательных движений упругих систем важно знать, какое число независимых параметров определяет положение системы в каждый данный момент времени. Число таких параметров называется числом степеней свободы.

В простейших случаях положение системы может быть определено одной величиной, Такие системы называются системами с одной степенью свободы. Колебательная система, состоящая из груза , подвешенного на пружине (рис. 2.2), будучи устроена так, что возможны только вертикальные перемещения груза, является системой с одной степенью свободы. Ее положение в любой момент времени может быть определено одним параметром – перемещением по вертикали.

Примером системы с двумя степенями свободы может служить невесомая балка, несущая две массы (рис. 2.3). Здесь независимыми параметрами, определяющими положение системы в любой момент времени, могут служить перемещения масс и относительно положения равновесия. Увеличивая число сосредоточенных масс колеблющейся балки, переходим в пределе к балке с распределенной по всей длине массой – колебательной системе (рис. 2.4) с бесконечным числом степеней свободы.

Рисунок 2.2 – Модель колебательной системы

Рисунок 2.3 – Модель с двумя степенями свободы

Рисунок 2.4 – Распределение масс по длине

Классификация механических колебаний может быть проведена и по другим признакам, В частности, принято различать следующие четыре типа колебаний: свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и автоколебания.

Свободными (собственными) называются колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения (“толчков”), вызывающего у точек системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжающиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие. Необходимая энергия, обеспечивающая процесс колебаний, поступает извне в начальный момент возбуждений колебаний. Период колебаний (время одного полного колебания) или частота колебаний (величина, обратная периоду) зависит от самой системы. Частота колебаний является вполне определенной для данной системы и называется собственной частотой колебаний системы, Свободные колебания из-за потерь энергии в системе практически всегда являются затухающими, хотя при анализе свободных колебаний указанными потерями энергии часто пренебрегают.

Вынужденными называются колебания упругой системы, происходящие при действии на систему (в течение всего процесса колебаний) заданных внешних периодически изменяющихся вынуждающих сил. Характер колебательного процесса при этом определяется не только свойствами системы, но существенно зависит также от внешней силы. Примером вынужденных колебаний могут служить поперечные колебания балки (рис. 2.5), вызываемые неуравновешенной массой ротора и установленного на ней работающего электромотора.

Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы и поддерживаются за счет непрерывного поступления энергии извне. При совпадении частоты вынуждающих сил с частотой собственных колебаний системы наступает резонанс, характеризующийся резким возрастанием амплитуды вынужденных колебаний, представляющим опасность для работы рассматриваемой механической колебательной системы.

Параметрическими называются колебания упругой системы, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы – величины, характеризующие массу или жесткость системы. При этом внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движение, а изменяют физические параметры системы. Примером параметрических колебаний могут служить поперечные колебания массы на вращающемся стержне некруглого сечения, имеющим разный экваториальный момент инерции относительно взаимно перпендикулярных осей.

Рисунок 2.5 – Поперечные колебания балки

Автоколебаниями, или самоколебаниями упругой системы называются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом.

Автоколебания возникают в системе в отсутствие внешних периодических воздействий. Характер колебаний определяется исключительно устройством системы. Источник энергии, восполняющий потери энергии в системе в процессе ее колебаний, составляет неотъемлемую часть системы. Таким образом, автоколебания отличаются от свободных колебаний, являющихся затухающими, тем, что они не затухают. С другой стороны, автоколебания отличаются от вынужденных и параметрических колебаний, вызываемых внешними силами, характер действия которых в обоих случаях задан, тем, что они являются самовозбуждающимися колебаниями, в которых процесс колебаний управляется самими колебаниями.

При продольных колебаниях перемещения всех точек упругого стержня направлены вдоль оси стержня. При этом имеет место деформация удлинения или укорочения стержня, т.е. продольные колебания можно называть колебаниями растяжения – сжатия.

При поперечных (изгибных) колебаниях основные компоненты перемещений (прогибы) направлены перпендикулярно к оси стержня.

При крутильных колебаниях имеют место переменные деформации кручения. Возможны также изгибно-крутильные колебания, т.е. колебания, при которых одновременно имеют место переменный изгиб и кручение.