Алгоритм решения задач статики

Рассмотрим пример решения задачи о равновесии тела под действием плоской системы сил.

Пример.

Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F = 60 Н, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = 15 Н/м и пары сил с моментом М = 40 Н·м; расстояние a = 1 м.(рис.1.37).

Рис.1.37

Решение. Введем систему координат Oxy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив ось Ox вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: , пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной , равной по модулю Q = q·2a = 30 Н и приложенной в средней точке нагруженного участка.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция _A неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим её на две неизвестные по величине составляющие X_A, Y_A, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует её перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию _B следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Приведенные выше действия можно назвать составление эквивалентной силовой схемы (рис.1.38).

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: X_A, Y_A, R_B. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой[7].

Рис.1.38

Составим уравнения равновесия для полученной эквивалентной силовой схемы.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

,

,

.

Напомним, что алгебраические моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены против хода часовой стрелки. При вычислении момента реакции _B относительно точки А выделена её вертикальная составляющая, равная R_B cos 30° и имеющая плечо 3a, а горизонтальная составляющая имеет нулевой момент относительно точки А.

Из третьего уравнения (2) и (3) находим:

R_B = (Q - 2F - M/a)/(3cos 30°) -50.0 Н.

Подставив в первое и второе, получим:

Х_A=((Q - 2F - M/a)/(3cos 30°))sin30° -25.0 Н,

Y_A = (2Q - F + M/a)/3 13.3 Н.

Полученные отрицательные значения R_B и X_A означают, что сила _B и составляющая реакции X_A противоположны показанным на рис.1.38 направлениям этих векторов.

Величина реакции R_A = (X_A² + Y_A²) 28.3 Н.

На примере решения рассмотренной задачи сформулируем общие правила решения задач в виде алгоритма решения задач статики:

· Составить силовую схему, выполнив следующее:

- выбрать объект рассмотрения (рассматриваемую механическую систему), отбросив при этом все остальные тела Вселенной;

- заменить влияние отброшенных тел силами, приложенными к точкам рассматриваемой механической системы;

- заменить отброшенные связи их реакциями;

- заменить распределенные нагрузки эквивалентными сосредоточенными силами;

- заменить пары сил их моментами.

· Написать систему уравнений равновесия для составленной силовой схемы.

· Решая полученную систему уравнений, найти неизвестные силы или/и реакции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте алгоритм решения задач статики.