Задача на безусловный экстремум функционала

Эту задачу отличает отсутствие всяких ограничений, что яв­ляется недостатком, так как отсутствие ограничений обычно ли­шает задачу практического смысла. Итак, задан минимизируе­мый функционал

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Подынтегральная функция F в нем дифференцируема как по х, так и по Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . Требуется найти экстремаль Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , которая минимизирует данный функционал при заданных краевых услови­ях x(0), х(Т) и известном значении времени Т.

Идея вывода расчетного уравнения использует предположение о том, что к экстремали добавляется дополнительная функция Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru с весовым коэффициентом Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . В результате аргумент функционала получает вариацию и будет равен:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

Где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru - дифференцируемая функция с нулевыми краевыми значениями, т.е. Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , (рис. 3).

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 3. Рис. 4

Соответственно функционал получает положительное прира­щение (вариацию), являющееся функцией коэффициента Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru :

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Эта функция имеет экстремум - минимум при Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru = 0 (рис. Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru 4). Исследуя эту функцию на экстремум, Эйлер получил следующее дифференциальное уравнение для нахождения экстремалей:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Компактная условная запись этого уравнения имеет вид:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

где индексы обозначают производные по Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Уравнение Эйлера в общем случае является нелинейным уравнением второго порядка, общее решение которого содержит две постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий.

В задаче на безусловный экстремум может быть задан функционал, зависящий от нескольких функций и их первых производных:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

В этом случае необходимо решить систему уравнений Эйлера:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

В более общем случае функционал может зависеть и от произ­водных высших порядков. В этом случае вместо уравнений Эйле­ра составляют и решают уравнения Эйлера-Пуассона:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

где k- порядковый номер функции; пk - порядок старшей произ-
водной от хk; т - число функций.

Лекция 3.

1.6. Задача на условный экстремум.

Метод Эйлера-Лагранжа

Помимо минимизируемого функционала

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

подынтегральная функция которого зависит от нескольких фун­кций и их первых производных по времени, задано произвольное число классических ограничений:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Требуется найти n экстремалей Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru при заданных краевых условиях.

Метод решения этой задачи требует формирования нового фун­кционала

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru - неизвестные функции, называемые множителями Лагранжа.

Благодаря такой замене задача сводится к предыдущей. При этом уравнения Эйлера должны быть составлены как для иско­мых экстремалей, так и для множителей Лагранжа:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (1)

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (2)

Но Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , а Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , т. е. уравнения (2) совпадают с уравнениями ограничений. Поэтому может быть выполнено совмест­ное решение системы уравнений Эйлера (1) и заданных ограни­чений. Исключая время из уравнений экстремалей, можно найти алгоритм управления оптимального автоматического регулятора.

1.7. Изопериметрическая задача

Здесь наряду с ограничениями, принятыми в главе 1.6, имеется определенный интеграл по времени:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Для того чтобы эту задачу свести к предыдущей, вводим допол­нительную переменную, определяемую интегральным уравнени­ем

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Для новой переменной справедливы краевые условия

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Затем, дифференцируя по времени интегральное уравнение для новой переменной, получим Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , или в стандартной форме записи ограничений:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Подынтегральная функция нового функционала

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Уравнение Эйлера для новой переменной примет вид:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и даст результат Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

В этом и состоит особенность интегрального ограничения: мно­жители Лагранжа для интегральных ограничений постоянны. В остальном решение аналогично, т. е. уравнения Эйлера для ис­комых экстремалей решаются совместно с уравнениями всех ог­раничений. При этом новую переменную хп+1 можно не вводить, считая Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Данная задача при одном интегральном ограничении получи­ла название изопериметрической задачи, так как исторически в этой задаче требовалось найти уравнение линии постоянного пе­риметра, которая вместе с отрезком прямой, соединяющим дан­ные точки, ограничивала бы максимальную площадь на плоско­сти. Такой линией является дуга окружности.

Лекция 3.

1.8. Принцип оптимальности. Метод динамического программирования

В основу метода динамического программирования положен принцип оптимальности. Согласно ему любой конечный отрезок оптимальной траектории (от произвольной промежуточной точ­ки до одной и той же конечной точки процесса) является сам по себе оптимальной траекторией для своих краевых условий. Для доказательства предположим, что при движении по оптимальной траектории М0М1М2О (рис. 6) достигается минимум заданно­го критерия оптимальности.

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис.6

Докажем, что конечный отрезок М1 М2 0 является оптималь­ной траекторией для своих краевых условий. Допустим, что это не так, и минимум критерия оптимальности достигается при дви­жении по траектории М1 М'20. Но тогда и при движении из точ­ки М0 меньшее значение критерия будет получено на траектории М0 М1 М2' О, что противоречит первоначальному предположению и заставляет отвергнуть сделанное допущение.

Метод динамического программирования позволяет решать задачи трех видов: дискретную, дискретно-непрерывную и непре­рывную.

1. Дискретная задача. Она отличается дискретностью всех ве­личин (времени, управляющих воздействий, управляемых вели­чин). К числу исходных данных относятся:

а) состояния выхода объекта управления;

б) значения управляющих воздействий;

в) алгоритм перехода из предыдущего состояния в последую­щее:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

где k - номер шага, k = 1,N, причем эти переходы задают­ся таблицей или диаграммой переходов;

г) начальное состояние х0 и число шагов процесса N;

д) критерий оптимальности j, зависящий от состояний и уп­равлений в оптимальном процессе.

Пусть для примера выходная величина объекта может иметь четыре состояния: х = {а1234}. Управляющее воздействие может иметь два значения: и = {-1, 1}. Диаграмма переходов по­казана на рис. 7. Примем х0 = a1, N = 2.

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 7.

Критерий оптимальности управления объектом примем в виде функции от конечного состояния объекта Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , которая за­дана таблично (табл. 1) и должна быть минимизирована.

Таблица 1.

xN а 1 а2 а3 a4
J

Для решения задачи около каждого конечного состояния х2
на диаграмме оптимальных переходов (рис. 8) записываем в соответствии с таблицей значения критерия оптимальности J.

Затем рассматриваются все возможные переходы из каждого предыдущего состояния х1 в последующие х2. Из них выбираются только те, которые оптимальны в смысле минимума J. Эти переходы отмечаются стрелками, около которых ставятся соответствующие

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 8

значения управления, а около предшествующего состояния указывается значение J . После этого находится аналогично, оптимальный переход из начального состояния x0 в x1 Оптимальная траектория обозначена двойными стрелками и получается при управлении

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Лекция 4.

2. Дискретно-непрерывная задача МДП.

В этой задаче управляющее воздействие и управляемые величины могут иметь бесчисленное количество значений в пределах заданных ограниче­ний. Время изменяется дискретно с малым шагом Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , что соответствует численным методам решения задач на ЭВМ. Зада­на продолжительность процесса Т, уравнение объекта управления

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (4)

Ограничение на управление Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и начальное состояние x(0)=x0.

Задан в виде функционала минимизируемый критерий оптимальности

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (5)

Требуется найти оптимальные управление u0(t) и траекторию x0(t).

Прежде всего от дифференциального уравнения (4) перехо­дим к разностному уравнению, заменяя dх на хк+1- хк, dt на Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru t, х и и на xk и uk, где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , относительное диск­ретное время k=0,1,2, ....

Обозначив Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , получим из (4) разностное урав­нение

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (6)

Критерий оптимальности (5) вместо интеграла необходимо представить в виде конечной суммы

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , (7)

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Переход к уравнениям (6) и (7) означает дискретизацию задачи по времени.

В соответствии с принципом оптимальности последовательно оптимизируем конечные отрезки процесса, начинающиеся от конеч­ной точки t=T и постепенно увеличивающиеся на Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (рис.9).

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 9

Первым рассматриваем отрезок

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

На этом отрезке из всего функционала (7) минимизируется частичная сумма

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

за счет изменения управления с учетом ограничений, где хN заменено согласно (6). В результате минимизации получаем следующую функцию от состояния xN-1:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , (8)

Данную зависимость необходимо запомнить до получения ана­логичной функции на следующем шаге расчета. Кроме (8) оп­ределится и оптимальное управление

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (9)

Функция (9) должна храниться в памяти до окончания рас­чета процесса. Затем переходим к отрезку Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , на котором минимизируется

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Минимум этой частичной суммы должен быть найден по двум переменным Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , но с учетом уже сделанной минимиза­ции по Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru в виде (8) остается минимизировать ее только по одному аргументу Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . В результате получим

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (10)

Функция (10) заменяет в памяти функцию (8), и находит­ся оптимальное управление

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Аналогично на отрезке Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru находим

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Наконец для всего процесса Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru находим

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (11)

Таким образом, получен алгоритм расчета по рекуррентным формулам, который и называется динамическим программирова­нием. При его применении по формуле (11) находим оптималь­ное управление Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , затем по уравнению объекта (6) находим состояние объекта х1, далее находим Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и т. д., вплоть до Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

3. Непрерывная задача. Задано уравнение объекта управления

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru где x=[x1,…,xn]T, u=[u1,…um]T, f=[f1,…,fn]T,

и краевые условия: x(t0) - закрепленный левый конец траекто­рии, x(tf) - подвижный правый конец.

Задано ограничение на управление Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и минимизируе­мый функционал общего вида (функционал Больца):

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Найти оптимальное управление u0(t), траекторию x0(t) или за­кон оптимального управления u0=u(x, t)

Для вывода уравнения Беллмана рассмотрим две точки на ис­комой оптимальной траектории x(t) и x(t1) (рис. 10), причем Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru - малое приращение времени. Введем обозначение

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 10

которое указывает на то, что минимум критерия оптимальности зависит только от начального состояния и начального момента времени процесса. Применяя принцип оптимальности, можно выразить минимальное значение функционала для конечных от­резков траектории, начинающихся в точках х(t) и x(t1):

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Сравнение этих равенств позволяет выразить первый минимум через второй:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Входящий в это равенство интеграл можно заменить произве­дением его подынтегральной функции на Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (вследствие малости последнего). Кроме того, функцию, входящую в левую часть, как независящую от управления, можно ввести под знак минимума для того, чтобы получить приращение функции S, называемой функцией Беллмана. После этого придем к следующему резуль­тату:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Поделив почленно равенство на Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и устремив Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru 0, получим:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (12)

Считая функцию Беллмана S непрерывной и дифференцируемой функцией всех своих аргументов, выразим производную Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru как производную сложной функции, причем производную Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , как независящую от управления u, перенесем в правую часть равенства:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Заменив входящие сюда производные переменных состояния на соответствующие функции из уравнений объекта управления, получим уравнение Беллмана в общем виде:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (13)

Применяется и другая запись уравнения Беллмана с использованием скалярного произведения, в которое входит градиент функции S:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (14)

В частном случае, когда объект стационарен и подынтегральная функция функционала f0 не зависит от времени, искомая функция Беллмана S также не будет явно зависеть от времени.

Следовательно, Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и уравнение Беллмана упрощается, что соответствует так называемой задаче Лагранжа:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (15)

Для задачи максимального быстродействия Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , и уравнение Беллмана (15) приобретает вид:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (16)

Из уравнения Беллмана должна быть найдена функция Бел­лмана S и оптимальное управление, что на практике выполняет­ся в следующем порядке при оптимизации обобщенного квадра­тичного функционала.

1. В соответствии с исходными данными выбираем то или иное уравнение Беллмана (13)-(16).

2. Минимизируем по управляющему воздействию и левую часть уравнения Беллмана, выражая при этом искомое оптималь­ное управление через производные неизвестной функции S.

3. Подставляем в уравнение Беллмана найденное выражение для оптимального управления. При этом знак min опускается.

4. Решаем полученное уравнение относительно функции Бел­лмана S. Решение ищется в виде положительно определенной квадратичной формы Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . После подстановки выражения для функции S в уравнение Беллмана элементы симметричной матрицы С могут быть найдены приравниванием к 0 всех коэф­фициентов квадратичной формы, образовавших левую часть урав­нения Беллмана.

5. Подставляем функцию Беллмана, как функцию переменных состояния, в выражение для оптимального управления, найден­ного в п. 2. В результате получим оптимальный алгоритм управ­ления. Соответствующая система устойчива, так как удовлетво­ряет требованиям прямого метода Ляпунова. Действительно, приняв функцию Беллмана за функцию Ляпунова, т. е. Считая S=V, получаем Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru согласно (12) при положительной опре­деленности f0(х, и, t).

Лекция 5.

Принцип оптимальности. Метод динамического программирования

Принцип максимума

Это метод расчета оптимальных процессов и систем, который выражает необходимое условие оптимальности. Рассмотрим уп­рощенный вывод принципа максимума.

Задано уравнение управляемого объекта в векторно-матричной форме

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Ограничение наложено на скалярное управляющее воздей­ствие Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Задан минимизируемый функционал:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Необходимо найти оптимальные управление Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и траекто­рию Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . Порядок решения поставленной задачи следующий.

1. Вводим дополнительную переменную состояния

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

конечное значение которой Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , т.е. равно критерию оптимальности. Эта переменная вместе с другими характеризует объект управления и образует обобщенный вектор состояния

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Дифференцируя по t выражение для новой переменной найдем уравнение в нормальной форме Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . Добавив это уравнение в систему заданных уравнений объекта управления, полу­чим систему обобщенных уравнений:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , (17)

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

2. Производим игольчатую вариацию управляющего воздей­ствия относительно искомого оптимального закона его изменения (рис. 12), при которой это воздействие скачком изменяется до предельного значения и затем обратно в течение бесконечно ма­лого отрезка времени Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 12

Площадь игольчатой вариации бесконечно мала, поэтому она вызывает бесконечно малые отклонения (вариации) переменных состояния:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

В частности, вариация

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , (18)

так как система оптимальна по минимуму критерия оптимальности.

3. Выразим вариацию траектории в момент времени Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru как про­изведение ее скорости на длительность вариации, т. е.

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

В последнем равенстве заменим скорости на соответствующие функции, взятые из (17):

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (19)

4. Определим вариацию критерия оптимальности в момент Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru по формуле скалярного произведения:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , (20)

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru - вспомогательная вектор-функция, подлежащая опре­делению и имеющая смысл градиента изменения критерия опти­мальности при изменении переменных состояния.

5. Подставляем (19) в (20) и с учетом знака вариации Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru получим неравенство для Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru :

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (21)

6. Обозначаем функцию Гамильтона (гамильтониан)

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (22)

Сравнение (22) и (21) позволяет сформулировать принцип максимума.

Для оптимального управления объектом необходимо, чтобы гамильтониан Н имел максимальное (наибольшее) значение в любой момент процесса управления.

Если оптимальное управление находится внутри допустимой области, то гамильтониан Н достигает максимума. Если же уп­равление Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru меняется по границам этой области, то Н достига­ет своего наибольшего значения (супремума).

7. Для нахождения вспомогательных функций получены сле­дующие уравнения:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (23)

Для функций Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru в соответствии с (20) и (18) получаются следующие граничные условия:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Так как гамильтониан Н от х0не зависит, то из (23) имеем Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , следовательно, Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

1.10. Порядок практического применения принципа максимума

1. Располагая заданным функционалом и уравнениями объек­та, составляем гамильтониан Н по формуле (22). Причем, если подынтегральная функция f0 от управления и не зависит, то со­ответствующее слагаемое можно в гамильтониан не включать, так как это не повлияет на решение задачи. Это справедливо, в частности, для критерия максимального быстродействия, когда f0=1.

2. Исследуем гамильтониан Н на максимум по управлению и, т. е. решаем уравнение Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Отсюда находим в общем виде оптимальное управление через переменные Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru и Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . Если это уравнение приводит к нулевым зна­чениям хотя бы для одной функции Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ; (тривиальное решение), то это считается неприемлемым и означает, что оптимальное управ­ление изменяется по границам допустимой области. Соответствен­но гамильтониан Н имеет не максимум, а наибольшее значение (супремум). В этом случае оптимальный закон управления нахо­дится из выражения для Н в классе знаковых функций с учетом ограничений на управление.

3. Найденный оптимальный алгоритм управления подставля­ют в уравнения (16) и (23), и они решаются совместно. При этом решении возникают сложности с определением постоянных интегрирования, удовлетворяющих граничным условиям. Поэто­му обычно ограничиваются решением качественного характера, при котором определяется лишь характер изменения оптимально­го управления. Дальнейшее применение метода припасовывания позволяет получить точное решение количественного характера.

Лекция 6.

1.12. Синтез оптимального по быстродействию регулятора для линейного стационарного объекта второго порядка

Этот синтез производится с использованием метода припасовывания в фазовом пространстве и теоремы об п интервалах. Объект управления задан своим дифференциальным уравнением

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (24)

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Требуется определить алгоритм оптимального управления Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru при произвольных краевых условиях.

Порядок синтеза следующий:

1. В качестве переменных состояния целесообразно выбрать ошибку управления х1 и ее первую производную х2 по времени

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

так как на фазовой плоскости этих переменных изображающая точка в конце оптимального переходного процесса приходит в начало координат.

Учитывая эти равенства и заданное уравнение объекта управления, запишем систему уравнений последнего в нормальной форме:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (25)

2. Определяем допустимое задающее воздействие g(t) в неко-
тором классе функций, например, в классе полиномиальных

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (26)

Допустимым называется такое задающее воздействие которое управляемая величина y(t) может «догнать» при заданном
ограничении на управление.

Определим, какие значения коэффициентов A0, A1 и A2 допус-
тимы при заданном ограничении. Исходим из требования, что в
конце переходного процесса ошибка и ее производные первого и
второго порядка должны равняться 0:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (27)

Решим эту задачу применительно к двигателю постоянного
тока как объекту регулирования угла поворота вала. Исходное
уравнение (24) и уравнения (25) примут вид:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ;

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (28)

Требование (27) с учетом (26) и (28) можно записать в виде:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Так как функция A2t растет неограниченно, а управление и ограничено значением Um, то это равенство может быть выполне­но при

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Для объектов управления с разным порядком астатизма V тре­бования к коэффициентам А0, А1и А2сведены в табл. 2.

Таблица 2

Порядок V A0 A1 А2
Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru
Любое Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru
Любое Любое Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

3. Находим дифференциальное уравнение фазовых траекторий объекта управления, решаем его и строим два семейства фазовых траекторий при Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Уравнение фазовой траектории объекта при оптимальном уп­равлении имеет общий вид

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (29)

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru для объекта в виде двигателя постоянного тока.

Постоянная интегрирования х10 имеет смысл координаты точ­ки пересечения фазовой траектории с осью х1, так как функция f равна 0 при х2 = 0. По найденному уравнению можно построить два семейства фазовых траекторий (рис.14).

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис. 14

4. Строим фазовый портрет оптимальной по быстродействию системы, используя теорему об п интервалах и метод припасовывания. Так как изображающая точка в конце переходного процес­са должна приходить в начало координат, то второй интервал оптимального процесса должен совершаться по отрезкам нулевых полутраекторий АО или ВО.

Первый интервал того же процесса должен совершаться по по­лутраекториям семейства Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , оканчивающимся на АО, либо по полутраекториям Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru , оканчивающимся на ВО (рис.15).

5. Используя построенный фазовый портрет, синтезируем ал­горитм оптимального по быстродействию регулятора.

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис.15

Из фазового портрета видно, что оптимальный регулятор яв­ляется релейным двухпозиционным, и его линия переключения (ЛП) - это АОВ. Найдем ее уравнение. Для этого нужно учесть, во-первых, общее уравнение фазовых траекторий (29), во-вторых, прохождение линии АОВ через начало координат, т. е. х10 = О, в-третьих, то, что на линии АОВ управление u совпадает по зна­ку с переменной х2, т. е. Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . Перенеся все члены урав­нения (29) в одну часть, запишем уравнение ЛП

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ,

где Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru . (30)

Функция Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru является функцией переключения регуля­тора, так как она совпадает по знаку с оптимальным управлени­ем на всей фазовой плоскости, кроме линии АОВ (рис.15).

Итак, алгоритм работы оптимального регулятора на первом интервале управления

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru (31)

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru Заметим, что равенства (30) и (31) определяют алгоритм работы оптимального регулятора приближенно, т. е. в квазиоп­тимальном режиме. Приближенность состоит в том, что второй интервал процесса при таком алгоритме управления будет совер­шаться не по отрезкам АО и ВО, а по бесконечно близким отрез­кам фазовых траекторий, получающимся после пересечения ЛП изображающей точкой.

В соответствии с выражениями (30) и (31) построим струк­турную схему оптимальной по быстродействию системы автома­тического управления объектом с астатизмом первого порядка (рис.16).

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

Рис.16

1.13. Оптимальные по быстродействию процессы

при ограничениях на управление
и одну из производных регулируемой величины

Рассмотрим в общем виде оптимальный по быстродействию процесс управления объектом п-го порядка с уравнением

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru

при двух ограничениях:

Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Анализ оптимального процесса показывает, что он состоит из нескольких участков:

1) участок перевода ограниченной координаты Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru от заданно­го начального значения Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru к одному из предельно допус­тимых значений Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru ;

2) участок стабилизации этой координаты на достигнутом пре­дельно допустимом значении;

3) участок перевода ограниченной координаты от предельного допустимого значения одного знака до предельно допусти­мого значения противоположного знака и т. д.;

2к + 1) участок перевода Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru от одного из предельно допусти­мых значений до конечного значения Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Всего в процессе имеется kучастков стабилизации и k+ 1 учас­ток перевода. Причем каждый участок перевода математически описывается уравнением, получаемым из уравнения объекта, если выходом считать не величину у, а ее k-ю производную y(k). При этом порядок уравнения понижается и становится равным n-k. Если соответствующее характеристическое уравнение Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru удовлетворяет теореме об n интерва­лах, то в соответствии с этой теоремой на каждом участке пере­вода имеем n-k интервалов с постоянными управляющими воз­действиями на уровнях Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru .

Каждый участок стабилизации описывается заданным уравне­нием объекта, в котором производная k-го порядка постоянна. Поэтому производные высшего порядка от k+1 до n равны 0. В результате интегрирования можно найти младшие производные и выходную величину объекта управления. Затем из уравнения объекта можно найти управляющее воздействие на участке ста­билизации как функцию времени. Этот закон изменения управ­ления Задача на безусловный экстремум функционала - student2.ru будет непрерывным и может быть обеспечен либо в разомкнутой системе заданием программы, либо в замкнутой си­стеме за счет нелинейной отрицательной обратной связи по про­изводной y(k) которая называется отсечкой. Такая отрицательная обратная связь не проявляет себя, пока не достигнуто ограниче­ние, и имеет бесконечно большой коэффициент усиления в обрат­ном случае.

Лекция 7.

Наши рекомендации