Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Банк задач для подготовки к экзамену
ФИТ,
Специальность ИВТ
Дисциплина алгебра и геометрия
I семестр 2012-2013
Модуль 1
Линейная алгебра.
1. Решить уравнение 
.
2. Вычислить определитель 
.
3. Найти 
, если 
, 
.
4. Дано 
.
Существует ли CА и АC? Если да, найдите их.
5. Найти решение системы 
методом Крамера 
. В ответе указать 
6. Решить систему матричным методом и методом Крамера 
.
7. Решить систему методом Гаусса 
.
8. Найти фундаментальную систему решений
9. Найти ранг, норму, след, собственные числа и собственные векторы матрицы 
10. Найти ранг, норму, след, число обусловленности , собственные числа и собственные векторы матрицы
.
11. Решить матричное уравнение: 
12. Найти значение матричного многочлена, если 
, если 
.
13. Найти значение матричного многочлена, если , если
.
Векторная алгебра.
14. Определить начало вектора 
, если его конец совпадает с точкой (1;-1;2), найти соответствующий ему нормированный вектор. 
15. Векторы 
и 
образуют угол 
, причем 
. Определить 
и 
.
16. При каких 
скалярное произведение векторов 
и 
равно 0.
17. При каких 
векторное произведение векторов и 
равно 0.
18. Коллинеарны ли векторы 
и 
,построенные по векторам и ?
, 
, 
, 
.
19. Найти косинус угла между векторами 
и 
.
, 
, 
.
20. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
, 
, 
, 
, 
.
21. Компланарны ли векторы , и 
?
.
22. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 
и его высоту, опущенную из вершины 
на грань 
.
.
23. Проверить, что 4 точки A(3;-1;2), B(1,2,-1), C(-1,1,-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.
24. Даны вершины 
: A(-1;-2;4), B(-4,-2,0), C(3,-2,1). Определить его внутренний угол при вершине B.
25. Даны вершины : A(1;-1;2), B(5,-6,2), C(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.
26. Даны 3 вектора 
, 
, 
. Найти: 1) 
; 2) 
.
27. Установить, компланарны ли векторы 
. Если векторы компланарны, найти линейную зависимость между ними.
28. Разложить вектор 
по трем некомпланарным векторам 
, 
, 
.
29. Написать разложение вектора 
по векторам 
, предварительно доказав что они образуют базис.
30. Найти координаты вектора 
в новом базисе 
, 
, 
.
Модуль 2
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Прямая на плоскости
31. Найти координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3:4 от начала. Координаты точек А(1;6), В(-3;8).
32. Составить уравнение прямой, проходящей через точку K(2;2) параллельно прямой 
.
33. Написать уравнение прямой, проходящей через точки E(1;3) и F(5;2). Найти точки пересечения данной прямой с осями координат.
34. Даны вершины треугольника: A(4;1), B(0;-2), C(-5;10).
Найти: 1) Уравнение стороны BC; 2) Длину стороны BC; 3) Уравнение высоты, проведенной из вершины A; 4) Длину высоты, проведенной из вершины A; 5) Уравнение медианы, проведенной из вершины В; 6) Уравнение средней линии, параллельной стороне ВС; 7) площадь треугольника АВС; 8) Угол B; 9) Сделать чертеж.
35. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;5), В(1;1), С(-5;9). Найти уравнение высоты АД; уравнение средней линии треугольника КМ, параллельной стороне АВ; угол между АД и КМ.
36. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x-y-1=0 и x-2y-1=0 и точка P(2;2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.
37. Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями 
, 
, 
.
Кривые 2 порядка.
38. Найти декартовы координаты точек, полярные координаты которых
следующие: 
, 
, 
, 
.
39. Найти полярные координаты точек, декартовы координаты которых
следующие:
А (0; —2), В(—1; 1), С(0; 0), D(0; -4).
40. Построить точки, данные полярными координатами:
A(3; 
), B(2; 
), С(З; ¾ 
).
41. Построить линию 
и найти ее уравнение в полярных координатах 
:
42. Прямая 
пересекает окружность 
в точках P и Q. Найдите длину хорды PQ и сделайте рисунок.
43. Окружность с центром в точке А(2;1) проходит через точку N(3;8).Написать уравнение окружности и найти ее диаметр.
44. Определить взаимное расположение прямой 
и окружности 
. Построить прямую и окружность.
45. Найти уравнение эллипса, если известна большая полуось а=5 и расстояние между фокусами F1F2, равное 6.
46. Найти уравнение гиперболы, если известна вещественная полуось а=3 и эксцентриситет е= 
.
47. Найти уравнение эллипса, если известна большая полуось а=5 и расстояние между фокусами F1F2, равное 6. Построить эллипс.
48. Найти уравнение гиперболы, если известен эксцентриситет е=5/3 и b-a=3. Построить гиперболу.
49. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат и точку М (2; 4), симметрично оси ОХ.
50. Составить уравнение окружности, проходящей через вершины гиперболы 12x2-13y2=156 и имеющей центр в точке А (0; 2).
51. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка
2x² + 3y² - 6x +4y – 10 = 0.
52. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка
2x² + 4xy +3y² - 2x +4y – 1 = 0.
53. Найти координаты точки М(1;2) в новой системе координат, полученной поворотом осей на 30° и переносом начала координат в точку А(3;-1).
Плоскость и прямая в пространстве.
54. Построить следующие точки по их декартовым координатам: А (3; 4; 6), В(—5; 3; 1),
С (1; — 3; — 5), D (0; — 3; 5), Е (— 3; — 5; 0).
55. Даны точки: А (4; 3; 5), В (—3; 2; 1), С (2; —3; 0) и D (0; 0; —3). Найти координаты их проекций: l) на плоскость Оху; 2) на плоскость Oxz; 3) на плоскость Oyz; 4) на ось абсцисс;
5) на ось ординат; 6) на ось аппликат.
56. Найти координаты точек А (2;- 3; 5), В (5; 3; 7), С (-13; 2; -1) в цилиндрической системе координат.
57. Найти координаты точек А (5;- 7; 2), В (-4; 3; 1), С (-1; 2; -6) в сферической системе координат.
58. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-7;0;2) параллельно вектору 
.
59. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно отрезку AB, если A(0;-1;2), B(-4;1;2).
60. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-7;0;2) параллельно вектору 
.
61. Даны координаты вершин пирамиды АВСД: А(4;3;5), В(0;-1;2), С(-3;2;7), Д(1;6;0). Найти угол между ребром АД и гранью АВС, проекцию точки Д на грань АВС.
62. Приведите к каноническому виду общее уравнение прямой 
.
63. Найдите острый угол между двумя прямыми 
и 
.
64. Напишите канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки 
(2; -1; -1) и 
(3; 3; -1). Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно отрезку AB, если A(0;-1;2), B(-4;1;2).
65. Даны вершины треугольника А(-5; 7; 1); В(2; 4; -1); С(-1; 3; 5). Найдите канонические уравнения медианы, опущенной из вершины В на сторону АС.
66. Найдите канонические уравнения прямой, проходящей через точку 
(1; -3; 5) параллельно прямой 
67. Найдите точку пересечения прямых 
и 
.
68. Найдите угол между прямыми 
и 
.
69. Найдите угол между прямыми 
и 
70. Найдите угол 
между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0) и плоскостью х-3у+z+5=0.
71. Найдите точку пересечения прямой 
и плоскости
3х+5у-z-2=0.
72. Через точку А(1; -1; 2) проведите прямую, параллельную прямой 
.
73. Найдите уравнения перпендикуляра к плоскости х+3у-4z-13=0, проходящего через точку (2; -1; 3), и определите координаты основания этого перпендикуляра.
Поверхности 2 порядка.
74. Составить уравнение сферы, если она проходит через точку 
и имеет центр в точке 
.
75. Составить уравнение сферы, если она имеет центр в точке 
и касается плоскости 
.
76. По какой линии пересекается конус 
с плоскостями:
1) у=3;
2) z=1;
3) x=0?
77. Какую поверхность определяет уравнение
1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ; | 6)  ; 7)  ; 8)  ; 9)  ; 10)  ? |
Построить эти поверхности.
78. Установить, какие поверхности определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности:
а). 
б) 
в). 
г). 
79. Составить уравнение поверхности, полученной от вращения прямой
линии 
вокруг оси Ох.
80. Составить уравнение поверхности, полученной от вращения кривой
линии 
вокруг оси Ох.
81. Составить уравнение поверхности, полученной от вращения прямой
линии 
вокруг оси Оy.
82. Перейдя к параметрическому заданию прямой, найти точки пересечения поверхности и прямой:
1) 
и 
;
2) 
и 
;
3) 
и 
.
83. Приведите уравнение поверхности 
к каноническому виду.
Модуль 3
Раздел 3 – Абстрактная алгебра.
84. Дано:
a) 
.
b) 
.
Найти: 
85. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество: 
86. Отображения заданы графически на Рисунке :
87.  88. а) | 89.  90. в) |
Найти образы и прообразы чисел 1,2,3,4;
отрезков 
91. Задана бинарная операция 
. Проверить, является ли данная операция коммутативной и ассоциативной.
92. Задана бинарная операция 
. Найти корень уравнения 
.
93. Является ли бинарная операция 
на множестве 
дистрибутивной относительно 
, если 
и 
.
94. Дать определение группы, кольца, поля, векторного пространства, привести пример.
95. Выясните, образует ли группу множество чисел вида 
с целыми a и b относительно умножения чисел.
96. Линейный оператор 
переводит векторы с координатами 
и 
в векторы с координатами 
и 
соответственно. Найти матрицу этого оператора.
97. Найти ядро и множество значений оператора, заданного матрицей 
.
98. Найти матрицу и образ оператора А, действующего в R3 следующим образом:
.
Комплексные числа.
99. Изобразить на плоскости комплексного переменного область, заданную неравенствами
100. Представьте в тригонометрической и показательной формах числа, заданные в алгебраической форме: а) 
, б) 
.
101. Пусть 
, 
. Вычислите 
, 
.
102. Изобразите на рисунке множество точек 
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 
.
103. Решить уравнение, изобразить все корни на комплексной плоскости.
104. Найти 
, если 
.
105. Решите в комплексных числах уравнение 
.
106. Изобразите на комплексной плоскости числа: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
107. Дано: 
, 
.
Найти: а) 
; б) 
.
108. Решите уравнение 
.
109. При каких 
и 
числа 
и 
будут равными?
110. Найдите значения 
.