V раздел. Производные и исследование функций

Задачи на экзамен и рейтинг-контроль.

I раздел: Алгебра.

1.Решить систему уравнений ( методомГаусса, Крамера, матричным

методом ). Пояснить процесс решения и сделать проверку:

2. Вычислить определитель матрицы ( два способа – разложением по строке - столбцу

или правилом Саррюса) :

3. Решить матричное уравнение ( т.е. найти все подходящие матрицы Х ) и сделать

проверку: A * X = B ; X * A = B ; A * X * B = C , где

A = ; B = ; C = ;

4. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей:

;

II раздел. Векторы.

1.Даны векторы a и b: │a │= 2, │b │ = 3, (a, ^ b) = 60°.

Используя ее, средствами векторного исчисления найти : площадь треугольника,

построенного на векторах c = (a + 3b) и d = (2a - b) , а также величину угла между

c и d. Сделать соответствующий чертеж.

2.Дано: │c│ = │3a - 2b│ = 5, │d │= │-5a + 6b│ = 4, (c, ^ d ) = 2π /6. Найти вели-

чину проекции вектора a на вектор b. Сделать схематический рисунок.

3.При каком значении параметра t векторы a = i + j + tk, b = i+ j + (t+1)k,

c = i – j – 2 tk а) будут компланарны ? б) образуют тетраэдр объемом 5 куб. ед.?

4. Даны три вершины трапеции : A (3, 0 ) , B ( -1, 2 ) , C ( 2, 5 ) . Найти координаты ее

четвертой вершины D и длину средней линии, если известно, что ‌ |‌ AB | = 3 | CD |

и AB || CD . Сделать подтверждающий чертеж.

5. Дана информация о векторах : │a │= 11 , │b │ = 23 , ‌| a + b | = 30 .Рассчитать

величину ‌| a – b | .Сделать соответствующий чертеж.

6.Найти координаты вектора p ,коллинеарного вектору q= { 2, 2, -1 } имеющего

длину 3и образующего тупой угол с базисным вектором k.

7.Найти координаты единичного вектора a ,перпендикулярного векторам b = { 1,1,1 }

и c = { 1, 3, -1 }и образующего острый угол с базисным вектором j.

8.Найти координаты вектора b ,компланарного с векторами i , j ,перпендикулярного

вектору a = { 4, - 3, 5 } и имеющего длину, равную 2 | a | .

III раздел. Геометрия.

1. Даны вершины треугольника: А ( 7; 2 ), B ( 1; 9 ), C ( - 8; - 11 ). Рассчитать:

а) площадь, углы и периметр ∆ - ка АВС;

б) координаты центра и радиус описанной окружности ; радиус вписанной окруж-ти;

в) координаты точки K – пересечения медианы АЕ с высотой BD ;

г) длину высоты CF и координаты ее основания – точки F ;

3. Даны координаты точек: A( 0, 4, 3) , B ( 4, 8, 1) , C ( 2, 15, - 7) , D ( 0, 6, 4).

Доказать, что тетраэдр с вершинами в этих точках существует и рассчитать :

а) площадь ABC;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты пирамиды AE ;

г) величину угла ( ≈ в градусах ) между ребром CD и гранью ACD ;

4. а) дана прямая: -4 x + 5 y + 20 = 0. Представить ее уравнение в других формах

и построить рисунок. То же – для прямой 2 x + 5 = 0.

Найти угол между этими прямыми.

б) даны уравнения плоскостей : x + 3 y – 2 z + 1 = 0 и - 2 x + y + 3 z + 6 = 0.

Написать уравнение линии их пересечения и найти расстояние от нее до плоскости

– 4 x + 2 y + 6 z – 3 = 0 .

5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду; установить, тип

кривой; указать её характеристики; построить чертёж:

; ; .

IV раздел. Введение в математический анализ.

1. Указать тип неопределенности и вычислить предел (без помощи производной !)

lim ( x³-2x-1) / ( 5x⁴ + 4x+1) ;

^{x→ -∞}

lim ( 16 + 5 x ) ^{2/ (x + 3)} ; lim ( cos ( 7x ) – cos ( 3x ) ) / ( π – x ) ² ;

^{x→ - 3 x→ π}

2. Определить порядок бесконечно малой величины по сравнению с

бесконечно малой x при .

3. Доказать, что функция Y= f(x) непрерывна в точке x₀:

Y=5x²-1 ,x₀=6 ; Y=5x²+3 ,x₀=8 .

4. Найти точки разрыва функции и установить их характер:

; ;

V раздел. Производные и исследование функций.

1. Рассчитать производную функции и указать её область определения :

__________

1. а ) y = ( 5x – 6 ) / ( √ x ³ + 5x - 6 ) ; б ) y = [ ( 3 ) ^{ctg (1 – 2x)} + ln [ sin (x/2) ] ⁴ ;

___________________

в ) y = log₃ [ ( √ ( 4x² + 1 ) / ( 1 – 8x³ ) ] ; г ) y = [ arctg (2x+1) ] ^{ln (cos x )}.

2. Найти дифференциал функций :

3. Найти производные 1-го и 2-го порядка функции, заданной параметрически

4. Найти производную y^´(x) неявной функции

5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой:

в точке .

6. Найти предел, используя правило Лопиталя

.

7. Исследовать функцию и построить ее график.

8. Вычислить значение производных 1-го и 2 - го порядка в заданной точке t_o = 1

для функции y ( x ) , заданной параметрически:

_____

x ( t ) = arctg 2t , y ( t ) = ln [( √ t ² + 2 )/ (2 t+ 1 )] .

9. Найти производную 1 - го порядка ( с помощью логарифмирования ) :

f ( x ) = ( sin x ) ^{arccos (ln2x)}

10. Вычислить значение производной 1 – го порядка в заданной точке x_o = – 1

для функции y ( x ) , заданной неявно с помощью уравнения :

ln (2 y ² + x ) = 4 x ² y ³ –18 .

11. Рассчитать приближенное значение величин ( с помощью дифференциала

функции ): ____

√ 22 ; lg 13 .

12. Для функции y = ( 3x – 4 ) · (e) ^{– x - 2} найти экстремумы и точки перегиба.

VI раздел. Функции нескольких переменных.

1. Найти: a) , где

2.Найти dz (дифференциал первого порядка функции )

3.Вычислить приближенно:

4. Найти экстремумы функции:

5.Написать уравнение касательной плоскости в точке М(1.1.3):