Решение типового примера и задания

Пример 1

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости уи х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера, коэффициент корреляции.

Решение.1а. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему нормальных уравнений относительно aиb:

По исходным данным рассчитываем

	y	x	yx	x2	y2			Ai
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Итого	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
Ср. Знач.	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	x	x	8,1
	5,74	5,86	x	x	x	x	x	x
	32,92	34,34	x	x	x	x	x	x

Уравнение регрессии: . С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 12,7 % объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения .Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные данные отклоняются от фактических на 8,1 %.

Рассчитаем F – критерий:

поскольку следует рассмотреть F^-1.

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической значимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б. Построению степенной модели y=ax^b предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные.

	Y	X	YX	Y2	X2				Ai
	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
Итого	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
Ср.знач	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	x	x	28,27	8,0
	0,0425	0,0484	x	x	x	x	x	x	x
	0,0018	0,0023	x	x	x	x	x	x	x

Рассчитаем C и b:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата у_х. По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции р_ху и среднюю ошибку аппроксимации :

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в. Построению уравнения показательной кривой y=ab^x предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем таблицы:

	Y	x	Yx	Y2	X2	yх	y- yх	(y- yх)2	Ai
	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	60,7	7,0	49,00	10,2
	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,9	24,01	8,0
	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-6,5	42,25	12,0
	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	0,0	194,90	56,2
Ср.знач	1,7605	54,9	96,5711	3,1011	3048,34	x	x	27,84	8,1
	0,0425	5,86	x	x	x	x	x	x	x
	0,0018	34,3396	x	x	x	x	x	x	x

Значения параметров регрессии A и B составили:

Получено линейное уравнение: .

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции р_ху:

Связь умеренная.

что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, описывает изучаемую зависимость.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы линеаризируется при замене: Тогда

Для расчетов используем данные таблицы:

	y	z	yz	z2	y2	yх	y- yх	(y- yх)2	Ai
	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733,44	61,8	7,0	49,00	10,2
	61,2	0,0169	1,0373	0,000287	3745,44	56,3	4,9	24,01	8,0
	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	56,9	3,0	9,00	5,0
	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
		0,0170	0,9354	0,000289	3025,00	56,4	-1,4	1,96	2,5
	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,8	-6,5	42,25	12,0
	49,3	0,0181	0,8931	0,000328	2430,49	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого	405,2	0,1291	7,5064	0,002413	23685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
Ср.знач	57,9	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68	x	x	27,84	8,1
	5,74	0,002145	x	x	x	x	x	x	x
	32,9476	0,000005	x	x	x	x	x	x	x

Значения параметров регрессии a и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции:

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). остается на допустимом уровне, расчетное значение критерия Фишера равно:

где

Следовательно, принимается гипотеза Н₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Анализ полученных уравнений:

№ п/п	Видуравнения	Коэффициент корреляции	Ошибка аппроксимации	Критерий Фишера Fфакт	Выбор
	Линейное уравнение	-0,357	8,1%	0,7 при a=0,05
	Степенная модель	Индекс корреляции -0,298	8,0%	0,76
	Показательное уравнение	Индекс корреляции 0,3589	8,0%	0,8	выбрано
	Уравнение равносторонней гиперболы	Индекс корреляции 0,3944	8,1%	0,92 приa=0,05

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи

2. Рассчитайте параметры 3 уравнений из следующих типов уравнений: линейное, степенное, экспоненциальное, полулогарифмическое, обратное, гиперболическое.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оцените с помощью F—критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Сделайте оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности.

7. Сведите результаты расчета в общую таблицу и сделайте выводы о выборе уравнения.

Вариант 1.

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам.

Показатель	Материалоемкость продукции по заводам
Потреблено материалов на единицу продукции, кг. У					3,7	3,6	3,5			3,5
Выпуск продукции, тыс. ед. Х

Вариант 2.

По территориям Центрального района известны данные 2005г.

Район	Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %,у	Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс.руб.,х
Брянская обл.	6,9
Владимирская обл.	8,7
Ивановская обл.	6,4
Калужская обл.	8,4
Костромская обл.	6,1
Орловская обл.	9,4
Рязанская обл.	11,0
Смоленская обл.	6,4
Тверская обл.	9,3
Тульская обл.	8,2
Ярославская обл.	8,6

Вариант 3.

По территориям Центрального района известны данные 1995г.

Район	Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб.,у	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб.,х
Брянская обл.
Владимирская обл.
Ивановская обл.
Калужская обл.

Продолжение

Костромская обл.
г. Москва
Московская обл.
Орловская обл.
Рязанская обл.
Смоленская обл.
Тверская обл.
Тульская обл.
Ярославская обл.

Вариант 4

По территориям Центрального и Волго–Вятского районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс.руб.,у	Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс.руб.,х
Центральный
Брянская обл.
Владимирская обл.
Ивановская обл.
Калужская обл.
Костромская обл.
Орловская обл.
Рязанская обл.
Смоленская обл.
Тверская обл.
Тульская обл.
Ярославская обл.
Волго-Вятский
Респ. Марий Эл
Респ. Мордовия
Чувашская Респ.
Кировская обл.
Нижегородская обл.

Вариант 5

По территориям Волго–Вятского, Центрально–Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс.руб.,у	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс.руб.,х
Волго-Вятский
Респ. Марий Эл
Респ. Мордовия
Чувашская Респ.
Кировская обл.
Нижегородская обл.
Центрально-Черноземный
Белгородская обл.
Воронежская обл.
Курская обл.
Липецкая обл.
Тамбовская обл.
Поволжский
Респ. Калмыкия
Респ. Татарстан
Астраханская обл.
Волгоградская обл.
Пензенская обл.
Саратовская обл.
Ульяновская обл.

Вариант 6

По территориям Северного, Северо–Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у	Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Северный
Респ. Карелия
Респ. Коми
Архангельская обл.
Вологодская обл.
Мурманская обл.
Северо-Западный
Ленинградская обл.
Новгородская обл.
Псковская обл.
Центральный
Брянская обл.
Владимирская обл.
Ивановская обл.
Калужская обл.
Костромская обл.
Московская обл.
Орловская обл.
Рязанская обл.
Смоленская обл.
Тверская обл.
Тульская обл.
Ярославская обл.

Вариант 7

По территориям Восточно–Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у	Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Восточно-Сибирский
Респ. Бурятия
Респ. Тыва
Респ. Хакасия
Красноярский край
Иркутская обл.
Усть–Ордынский Бурятский авт.округ
Читинская обл.
Дальневосточный
Респ. Саха (Якутия)
Еврейский авт. Округ
Чукотский авт. Округ
Приморский край
Хабаровский край
Амурская обл.
Камчатская обл.
Магаданская обл.
Сахалинская обл.

Вариант 8

По территориям Уральского и Западно–Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у	Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Уральский
Респ. Башкортостан
УдмуртскаяРесп.
Курганская обл.
Оренбургская обл.
Пермская обл.
Свердловская обл.
Челябинская обл.
Западно–Сибирский
Респ. Алтай
Алтайский край
Кемеровская обл.
Новосибирская обл.
Омская обл.
Томская обл.
Тюменская обл.

Вариант 9

По территориям Уральского и Западно–Сибирского районов известные данные за ноябрь 1997г.

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у	Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Уральский
Республика Башкортостан
Удмуртская Респ.
Курганская обл.
Оренбургская обл.
Пермская обл.
Свердловская обл.
Челябинская обл.
Западно–Сибирский район
Респ. Алтай
Алтайский край
Кемеровская обл.
Новосибирская обл.
Омская обл.
Томская обл.
Тюменская обл.

Вариант 10

Имеются данные по странам за 1994г.

Страна	Душевой доход, долл.,у	Индекс человеческого развития (ИЧР), x1	Индекс челове-ческой бедности (ИЧБ), x2
Объединенные Арабские Эмираты		0,866	14,9
Таиланд		0,833	11,7
Уругвай		0,883	11,7
Ливия		0,801	18,8
Колумбия		0,848	10,7
Иордания		0,730	10,9
Египет		0,514	34,8
Марокко		0,566	41,7
Перу		0,717	22,8
Шри-Ланка		0,711	20,7
Филиппины		0,672	17,7
Боливия		0,589	22,5
Китай		0,626	17,5
Зимбабве		0,513	17,3
Пакистан		0,445	46,8
Уганда		0,328	41,3
Нигерия		0,393	41,6
Индия		0,446	36,7

Рекомендации по организации выполнения самостоятельной работы, примерный календарный план выполнения

Самостоятельная работа состоит из трех разделов: теория вероятности, математическая статистика и регрессионный анализ.

Первая часть - решение задач по теории вероятности должны выполняться в течение первых 5 недель по мере чтения лекционного материала и тематики практических занятий. При оформлении работы обязательны:

–текст задачи;

–приведение теоретического материала, используемого при решении со ссылкой на литературные источники;

–численное решение, четкий ответ.

Вторая часть - математическая статистика. Выполняется в течение следующей трети семестра, в основном на практических занятиях, с использованием компьютера для расчета и оформления таблиц и графиков.

Третья часть - регрессионный анализ. Работа должна содержать введение, где формулируется цель работы. Включает теоретическую часть описания метода наименьших квадратов, выбор не менее трех видов предполагаемых уравнений (линейная, степенная и т. д.). Для выбора типа уравнения используется рисунок поля исходных данных, с подбором нужного масштаба, с тем, чтобы можно было предположить вид уравнения.

В конце работы должна быть составлена сводная таблица с указанием вида уравнения, с числовыми параметрами, коэффициент корреляции, ошибка аппроксимации, критерий Фишера или Стьюдента табличный и для каждого уравнения и сделан вывод, какое уравнение рекомендуется к использованию.

Защита проходит в форме собеседования по темам

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Письменный, Д. Т.Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам/ Д. Т. Письменный. - 4-е изд., испр. - М. : Айрис-пресс, 2008. – 288 с. – ( Высшее образование).

2. Рябушко, А. П. Индивидуальные задания по высшей математике : в 4 ч. : учеб. пособие / А. П. Рябушко, Ч. 4, Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд., испр. - Мн. : Вышэйш. шк., 2007.

Дополнительная литература:

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - Изд. 10-е, стер. - М. : Высшая школа, 2004. - 479 с. - Прил.: с. 461-473. - Пред. указ.: с. 474-479. - ISBN 5-06-004214-6

2. Королев, В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / В. Ю. Королев ; МГУ им. М. В. Ломоносова, фак. вычислит. матем. и кибернетики. - М. : Проспект, 2006. - 160 с. - Библиогр.: с. 160. - ISBN 5-482-00274-8

3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 2-е изд., стер. - М. : Высшая школа, 2000. - 480 с. : ил. - Библиогр. с. 477. - ISBN 5-06-003830-0

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2000. - 543 с. : ил. - Библиогр.: с. 509-510. - Прил.: с. 526-534. - Предм. указ.: с. 535-543. - ISBN 5-238-00141-Х

Методическая литература.

Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине "Теория вероятности и математическая статистика" для студентов специальности 090105.65 Комплексное обеспечение информационной безопасности / сост. М.А. Мартынова ; рец. А.С. Адамчук</font>. - Ставрополь : СевКавГТУ, 2009. - 75 с. : ил.