Упражнение 1. Определение амплитудно-частотной характеристики фильтров.

Лабораторная работа № 1

Линейные RC, RL, LC цепи и прохождение гармонического сигнала по ним.

Цель работы:исследование реактивных фильтров, снятие их характеристик.

Приборы: 1. Универсальный стенд

2. Двулучевой осциллограф

3. Вольтметр

4. Генератор гармонического сигнала

5. соединительные провода

Теоретическое введение.

Электрическими фильтрами называют четырехполюсники, которые пропускают сигналы без изменения их амплитуды только в определенном диапазоне частот, который называется полосой пропускания или зоной прозрачности фильтра. Остальная часть шкалы частот называется полосой задержания фильтра.

Фильтры нижних частот (ФНЧ) имеют полосу пропускания (0, ω), фильтры верхних частот (ФВЧ) – (ω, ∞), заграждающие фильтры (0, ω₁) и (ω₂, ∞), полосовые фильтры (ω_1, ω₂).

В зависимости от вида составляющих элементов фильтры бывают реактивные (состоящие из реактивных элементов: катушек индуктивности и конденсаторов), безындукционные (состоящие из конденсаторов и сопротивлений), пьезоэлектрические.

Фильтры применяются для отфилтровывания некоторых сигналов из других сигналов и для предотвращения подачи определенных сигналов к последующему каскаду. Поэтому фильтры используются для того, чтобы ликвидировать нежелательные сигналы и шумы в системе, а также, чтобы обеспечить пропускание одних сигналов и задержку других.

Фильтры нижних частот.

ФНЧ является схемой, которая без изменения передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание спада и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис. 1.1 изображена схема простого RC – фильтра нижних частот.

Рис. 1.1 RC – фильтр нижних частот

Для расчета частотной характеристики схемы применим формулу отношения выходного и входного напряжений, представленных в комплексной форме:

(1.1)

Отсюда, учитывая, что , получим ; , где

– комплексный коэффициент усиления (передачи) по напряжению;

– фазовый сдвиг между входным и выходным напряжением; если выходное напряжение опережает входное, то фазовый сдвиг положителен, если отстает – отрицателен.

Обе зависимости представлены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Диаграммы Боде для ФНЧ

Диаграммами Боде называют совокупность двух приведенных зависимостей: комплексного коэффициента усиления от частоты и фазового сдвига между входным и выходным напряжением от частоты.

На верхнем графике с левой стороны оси ординат отложены значения .Что это такое?

В электронике часто для характеристики отношения напряжений используют величину, пропорциональную логарифму этого отношения:

(1.2)

которая измеряется в децибелах (дБ). Здесь и – амплитудные значения выходного и входного напряжений соответственно. Ниже в таблице 1.1 для справок приведены некоторые значения величин и .

Таблица 1.1.

	0,5
, дБ	-6	-3

Положив , получим выражение для частоты среза:

(1.3)

Фазовый сдвиг на этой частоте, согласно полученным нами формулам, составляет -45⁰.

Как видно из рис. 1.2 амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) наиболее просто составить их двух асимптот:

1. дБ на нижних частотах

2. На высоких частотах , , т.е. коэффициент усиления обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т.е. на 20 дБ.

3. дБ при .

Для анализа схемы во временной области подадим на вход этой схемы импульс напряжения (рис. 1.3.)

Рис. 1.3. Реакция ФНЧ на скачок напряжения

Чтобы рассчитать выходное напряжение применим правило узлов к ненагруженному выходу. Тогда для схемы, изображенной на рис.1.1. запишем:

А из с учетом получим дифференциальное уравнение:

Оно имеет следующие решения:

(рис. 1.3 б);

Известно, что к установившимся значениям и кривые будут приближаться асимптотически. Поэтому в качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени τ. Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на часть величины скачка напряжения на входе. Из решения дифференциального уравнения видно, что постоянная времени равна

Из него же приближенно можно найти время установления выходного напряжения. В таблице 1.2. приведены значения времени установления выходного напряжения.

Таблица 1.2. Значения времени установления фильтра нижних частот

Точность установления, %				0,1
Время установления	τ	2,3 τ	4,6 τ	6,9 τ

Если в качестве входного сигнала приложено напряжение прямоугольной формы с периодом Т, то экспоненциальная функция прерывается через каждую половину периода.

Какое значение при этом будет достигнуто и, зависит ли оно от соотношения и τ, что и показано на рис. 1.4.

Как было показано ранее, при частотах сигнала выходное переменное напряжение мало по сравнению с входным. В этом случае из дифференциального уравнения в предположении, что следует, что , т.е.

Рис. 1.4. Импульсивный режим работы ФНЧ при различных частотах.

Верхняя кривая - ; средняя - ; нижняя - .

Таким образом, ФНЧ можно рассчитывать как интегрирующее звено.

Другим параметром, характеризующим ФНЧ, является длительность фронта импульса. Этот параметр показывает время, в течение которого выходное напряжение возрастает от 10 до 90 % конечного значения, если на выход подать импульс напряжения прямоугольной формы. Учитывая свойства экспоненциальной функции, из решения дифференциального уравнения получим:

При

Это соотношение с большей степенью точности действительно для ФНЧ.

При последовательном соединении нескольких ФНЧ, обеспечивающих различные длительности фронта выходного импульса результирующая длительность фронта импульса

Частота среза приближенно определяется как

Для случая фильтров с равными частотами среза

Заметим, что колебания в нашей системе (в различных фильтрах) можно рассматривать как сумму двух волн, одна из которых бежит влево по цепи, а другая вправо.

Понятие волны в цепной схеме отличается от соответствующего понятия в распределенной системе, например в двухпроводной линии.

Когда мы говорим, что в цепи распространяется волна напряжения, то имеем в виду, что заданная фаза колебаний напряжения на емкости перемещается со временем от звена к звену (в случае одного звена (фильтра) – от его входа к выходу). Скорость смещения фазы (фазовая скорость сигнала и измеряется в единицах , – сдвиг фаз между соседними звеньями или (что то же самое) сдвиг фазы входного и выходного напряжения.

Работа любых фильтров, в том числе и ФНЧ, основана на зависимости реактивных (индуктивного и емкостного) сопротивлений от частоты, которая выражается формулами

и (1.4)

Отсюда вытекает и принцип работы фильтров. Рассмотрим ФНЧ, изображенный на рис. 1.5 в. Если на вход такого фильтра подать сигналы различных частот, то для сигналов низких частот индуктивное сопротивление катушки L будет малым и они пройдут на выход. Для сигналов высоких частот реактивное сопротивление параллельно включенного конденсатора С является высоким, а для сигналов высоких частот шунтирующее действие конденсатора весьма значительно, так что сигналы ослабляются.

Для полноты картины приведем основные схемы ФНЧ и некоторые расчетные формулы, встречающиеся на практике (без вывода).

Рис. 1.5. Фильтры нижних частот

а, б, в – Г – образные фильтры; г – Т – образный фильтр; д – П – образный фильтр

Включив последовательно с входом фильтра амперметр, можно измерить ток I_вх во входной цепи. Тогда: - характеристический импеданс системы.

Параметр Z₀ также называют итеративным (повторяющимся), если считать, что Z₀ не зависит от числа звеньев фильтра, а также от вида этого звена (рис. 1.5 а-г).

Если фильтр, состоящий из одного или нескольких звеньев нагружен на резистор сопротивления , то ток в нагрузке соответствует току в бесконечно длинной линии, поэтому и в этом случае . В случае равенства имеет место передача максимальной энергии сигнала. Волновое сопротивление (характеристический импеданс Z₀) определяется следующим выражением:

(в случае )

Фильтры указанной конструкции характеризуются постоянной величиной k, не зависящей от частоты, которая определяется как

, где

Z₁, Z₂ – соответственно последовательное и параллельное сопротивления схем на рис. 1.5. (любые реактивные и резистивные компоненты). Полное значение индуктивности и емкости этих фильтров определяется как

и

Фильтр верхних частот.

ФВЧ – это схема, которая передает без изменения сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простого RC фильтра верхних частот приведена на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Простой ФВЧ

Амплитудно-частотные характеристики снова получим по формулам для отношения напряжений:

Отсюда находим:

и

Обе кривые представлены на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Диаграмма Боде для фильтра верхних частот

Выражение для частоты среза совпадает с соответствующим выражением для ФНЧ:

(1.5)

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет +45⁰. Как и для ФНЧ наиболее просто составить амплитудно-частотную характеристику в двойном логарифмическом масштабе с помощью асимптот:

1. дБ на высоких частотах

2. На низких частотах , т.е. коэффициент передачи пропорционален частоте.

3. дБ при .

При расчете реакции на импульс напряжения применим для ненагруженного выхода второй закон Кирхгофа:

При U_вх=0 получим дифференциальное уравнение

Его решение имеет вид:

Таким образом, постоянная времени, как и для ФНЧ равна .

Для определения начального значения (t=0) используем дополнительное соображение: в момент, когда входное напряжение изменяется скачкообразно, заряд конденсатора Q остается неизменным. Он действует как источник напряжения .

Выходное напряжение повторяет скачок входного напряжения (рис. 1.8 а) от нуля до U₂, а затем убывает по экспоненте, согласно ранее полученному равенству снова до нуля.

Рис. 1.8. Реакция ФНЧ на скачок напряжения

Если входное напряжение скачком изменится от U до нуля (рис. 1.8 б), то U_вых скачком уменьшается от нуля до -U. При этом важно заметить, то выходное напряжение имеет отрицательное значение, хотя входное напряжение всегда положительно. Это обстоятельство часто используют в схемотехнике.

Если на входе ФВЧ приложено напряжение прямоугольной формы с периодом Т<<τ , то конденсатор в течение половины периода почти полностью перезаряжается и выходное напряжение будет равно входному с точностью до постоянной величины. В связи с тем, что через конденсатор не может протекать постоянный ток, среднее значение выходного напряжения равно нулю. Следовательно, постоянная составляющая входного напряжения не передается. На этом основано применение ФВЧ в качестве элемента RC – связи.

Если приложено входное напряжение с частотой f<<f_cp, то .

Тогда из ранее приводимого дифференциального уравнения

получим .

Таким образом, низкочастотные входные напряжения дифференцируются. Вид переходной характеристики фильтра показан на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Импульсный режим работы ФВЧ при различных частотах.

При последовательном соединении нескольких ФВЧ результирующая частота среза

На рис. 1.10 показаны ФВЧ.

Рис. 1.10. Фильтры верхних частот. а, б, в) – Г – образные фильтры; г) – Т – образный фильтр; д) – П – образный фильтр

При подаче на вход ВЧ фильтра сигнала с составляющими с постепенно увеличивающимися частотами емкостное сопротивление конденсатора будет уменьшается, и они проходят на выход фильтра. Для низкочастотных составляющих сигнала емкостное сопротивление включенного последовательно конденсатора будет возрастать, поэтому составляющие буду ослабляться. Для низкочастотных составляющих сигнала шунтирующее индуктивное сопротивление L (если оно есть) мало, и они сильно ослабляются. Для высокочастотных составляющих шунтирующее воздействие индуктивности уменьшается, и они ослабляются меньше.

Как и в случае ВНЧ характеристическое сопротивление определяется выражением

Полная индуктивность фильтра:

Полная емкость фильтра:

1.3. Пассивный полосовой RC – фильтр.

Путем последовательного соединения ФВЧ и ФНЧ получают полосовой фильтр. Его выходное напряжение равно нулю при высоких и низких частотах. Одна из возможных схем представлена на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Пассивный полосовой RC – фильтр

Рассчитаем выходное напряжение и фазовый сдвиг на средних частотах. Формула для ненагруженного делителя напряжения в комплексной форме имеет вид:

;

Подставив получим:

Отсюда найдем модуль и фазовый сдвиг:

;

Выходное напряжение максимально при . Следовательно, резонансная частота:

Выделенная ране величина Ω представляет собой нормированную частоту

Фазовый сдвиг на резонансной частоте равен нулю, коэффициент передачи (усиления) . На рис. 1.12. приведены графики зависимости и φ от частоты.

+

Рис. 1.12. Диаграмма Боде пассивного полосового RC – фильтра

1.4. Мост Вина – Робинсона

Если полосовой фильтр на рис. 1.11. дополнить сопротивлениями R₁ и 2R₁, показанными на рис. 1.13, то получится мост Вина – Робинсона. Омический делитель напряжения обеспечивает частотно-независимое напряжение, равное . При этом на резонансной частоте выходное напряжение равно нулю.

Рис. 1.13. Мост Вина – Робинсона

В отличие от полосового фильтра амплитудно-частотная характеристика коэффициента усиления на резонансной частоте имеет минимум. Схема применима для подавления сигналов в определенной частотной области. Для определения выходного напряжения используем выражение:

Отсюда следует, что:

Модуль и фазовый сдвиг определяются как:

; ,

Графики зависимости А и φ от частоты представлены на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Диаграмма Боде моста Вина – Робинсона

Пьезоэлектрический фильтр

Отметим, что фильтры, состоящие из индуктивностей и емкостей, не пригодны для пропускания очень узкой полосы частот. При необходимости получения фильтра с очень узкой полосой возможно использование электромеханических фильтров, из которых наибольшее распространение получили кварцевые (пьезокерамические) фильтры. Их действие основано на пьезоэлектрическом эффекте кварцевых кристаллов. Прямоугольная пластинка кварца, вырезанная с определенной ориентацией относительно осей кристалла помещается в специальный кварцедержатель, с помощью которого она присоединяется к схеме (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Кварцевый фильтр

Рис. 1.16. Электрическая схема кварцевого фильтра

При механической деформации такой пластины на ее обкладках появляется электрический заряд (прямой пьезоэффект), а под воздействием приложенного к ней напряжения пластина механически деформируется (обратный пьезоэффект). Кварцевая пластина с металлическими обкладками может быть представлена электрической схемой (рис. 1.16), где L и C – индуктивность и емкость, эквивалентные пластине, R – активное сопротивление, соответствующее переходу энергии в тепловую при трении, а С₀ – емкость конденсатора, образованного обкладками с кварцем в качестве диэлектрика. Параметры такого контура весьма своеобразны: индуктивность L достигает десятка Генри, а емкость C не превышает десятых долей пикофарад при активном сопротивлении порядка единиц или десятков Ом. Поэтому добротность такого контура может достигать несколько десятков тысяч, что соответствует очень узкой полосе пропускания. Стабильность этой полосы очень высокая, особенно при так называемом «косом» срезе кварца, когда влияние температуры на параметры пластины минимально.

При рассмотрении схемы рис. 1.16. можно заключить, что тут присутствуют два резонансных контура – последовательный (LC) и параллельный (ветвь LC и C₀). Каждый из этих контуров имеет соответствующую резонансную частоту:

и

Учитывая, что обычно C<<C₀, резонансные частоты f₁ и f₂ очень близки друг к другу и полосе пропускания, которая приближенно равна разности этих частот, будет весьма узкой. Присоединяя к кварцу добавочное реактивное сопротивление, можно в известных пределах регулировать ширину полосы прозрачности такого фильтра.

Рис. 1.17 Схема подключения кварцевого фильтра

Рис. 1.18 Подстройка резонансной частоты кварцевого резонатора при последовательном резонансе

Электрические схемы

Внешний вид установки для исследования линейных LC, RC,RL цепей

Ход работы

Упражнение 1. Определение амплитудно-частотной характеристики фильтров.

1. Подключить вольтметры V1 на вход и V2 на выход фильтров.

2. Подключить генератор соблюдая полярность («+» верхней клемме, «-» к нижней клемме).

3. Определить диапазоны частот начиная с 0, на котором происходят изменения состояния фильтров. (Если ФНЧ, то фильтр начинает закрываться, если ФВЧ, то фильтр начинает открываться, а для полосового фильтра нужно определить два диапазона частот при которых фильтр в начале открывается, потом закрывается).

4. На выбранном диапазоне частот (для соответствующего фильтра) снять 12 – 15 значений входного и выходного напряжения. Показания занести в таблицу 3.1. 5.. Определить комплексный коэффициент усиления по напряжению

6. Построить амплитудно-частотную характеристику А=f ( )

Сравнить расчеты по измеренным данным с расчетами полученными теоретически.

7. По АХЧ определить полосу пропускания.